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对于任意实数x
1
，x
2
，max{x
1
，x
2
}表示x
1
，x
2
中较大的那个数，则当x∈R时，函数f(x)＝max
的最大值与最小值的差是________．
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已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x
0
，使得对于任意实数x
1
，x
2
总有f（x
0
x
1
+x
0
x
2
）=f（x
0
）+f（x
1
）+f（x
2
）恒成立
（1）求x
0
的值；
（2）若f（x
0
）=1，且对任意正整数n，有
a
n
=
1
f(n)
，
b
n
=f(
1
2
n
)+1
，记S
n
=a
1
a
2
+a
2
a
3
+…+a
n
a
n+1
，T
n
=b
1
b
2
+b
2
b
3
+…+b
n
b
n+1
，求S
n
和T
n
；
（3）若不等式
a
n+1
+
a
n+2
+…+
a
2n
＞
4
35
[lo
g
1
2
(x+1)-lo
g
1
2
(9
x
2
-1)+1]
对任意不小于2的正整数n都成立，求x的取值范围．
已知函数f（x）=
4
x
+k•
2
x
+1
4
x
+
2
x
+1
，若对于任意实数x
1
，x
2
，x
3
，均存在以f（x
1
），f（x
2
），f（x
3
）为三边边长的三角形，则实数k的取值范围是
-
1
2
≤k≤4
-
1
2
≤k≤4
．
设函数y=f（x），（x∈R
*
）对于任意实数x
1
、x
2
∈R
*
，都满足f（x
1
x
2
）=f（x
1
）+f（x
2
），且当x＞1时，f（x）＞0且f（4）=1
（1）求证：f（1）=0
（2）求
f(
1
16
)
的值
（3）解不等式f（x）+f（x-3）≤1．
（2009•黄冈模拟）已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x
0
，使得对于任意实数x
1
，x
2
，总有f（x
0
x
1
+x
0
x
2
）=f（x
0
）+f（x
1
）+f（x
2
）恒成立．
（1）求x
0
的值；
（2）若f（x
0
）=1，且对于任意正整数n，有
a
n
=
1
f(n)
，
b
n
=f(
1
2
n
)+1
，记S
n
=a
1
a
2
+a
2
a
3
+…+a
n
a
n+1
，T
n
=b
1
b
2
+b
2
b
3
+…+b
n
b
n+1
，比较
4
3
S
n
与T
n
的大小关系，并给出证明；
（3）在（2）的条件下，若不等式
a
n+1
+
a
n+2
+…+
a
2n
＞
4
35
[
log
1
2
(x+1)-
log
1
2
(9
x
2
-1)+1]
对任意不小于2的正整数n都成立，求x的取值范围．
（2013•宁波二模）设函数f（x）=lnx+ax
2
-（3a+1）x+（2a+1），其中a∈R．
（Ⅰ）如果x=1是函数f（x）的一个极值点，求实数a的值及f（x）的最大值；
（Ⅱ）求实数a的值，使得函数f（x）同时具备如下的两个性质：
①对于任意实数x
1
，x
2
∈（0，1）且x
1
≠x
2
，
f(
x
1
)+f(
x
2
)
2
＜f(
x
1
+
x
2
2
)
恒成立；
②对于任意实数x
1
，x
2
∈（1，+∞）且x
1
≠x
2
，
f(
x
1
)+f(
x
2
)
2
＞f(
x
1
+
x
2
2
)
恒成立．
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的最大值与最小值的差是________．
的最大值与最小值的差是________．