Question

4．已知f（x）=1og₂$\frac{1-x}{1+x}$．
（1）判断f（x）的单调性；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{1-x}{1+x}$＞0，化为（x+1）（x-1）＜0，即可得出定义域，利用单调性的定义和对数的运算法则即可证明．（2）利用函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{1-x}{1+x}$＞0，解得：-1＜x＜1，
即函数f（x）的定义域是（-1，1），
当0＜x＜1时，f（x）单调递增．
证明：设-1＜x₁＜x₂＜1
则f（x₁）-f（x₂）=log₂$\frac{1{-x}_{1}}{1{+x}_{1}}$-log₂$\frac{1{-x}_{2}}{1{+x}_{2}}$=log₂$\frac{（1{-x}_{1}）（1{+x}_{2}）}{（1{+x}_{1}）（1{-x}_{2}）}$，
∵（1-x₁）（x₂+1）-（x₁+1）（1-x₂）=2（x₂-x₁）＞0，
∴$\frac{（1{-x}_{1}）（1{+x}_{2}）}{（1{+x}_{1}）（1{-x}_{2}）}$＞1，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴当-1＜x＜1时，f（x）单调递减．
（2）∵当-1＜x＜1时，$\frac{1-x}{1+x}$=-1+$\frac{2}{x+1}$，
x→-1时：$\frac{1-x}{1+x}$=-1+$\frac{2}{x+1}$→+∞，x→1时：$\frac{1-x}{1+x}$=-1+$\frac{2}{x+1}$→0，
∴函数f（x）的值域是（-∞，+∞）．

点评 本题考查了函数的值域和函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．