Question

过直线y=-m（m为大于0的常数）上一动点Q作x轴的垂线，与抛物线C：y=x²相交于点P，抛物线上两点A、B满足
（1）求证：直线AB与抛物线C在点P处的切线平行，且直线AB恒过定点；
（2）是否存在实数m，使得点Q在直线y=-m上运动时，恒有QA⊥QB，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设直线AB：y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，-m），P（x，x²），，，，由，得（*）．联立直线AB和抛物线C方程，得x²-kx-b=0，由此入手能够证明直线AB恒过定点（0，m）．
（2）由=，=．知，由此能够导出存在实数，使得Q点在直线y=-m上运动时，恒有QA⊥QB．
解答：（1）证明：设直线AB：y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵Q（x，-m），P（x，x²），
∴，，，
由，得
（*）
联立直线AB和抛物线C方程：
，得x²-kx-b=0，
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-b，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b=k²+2b，y₁y₂=（x₁x₂）²=b²，
代入（*）式，可得，
∵y′=2x，
∴抛物线C在点P处的切线斜率为2x=k，
故直线AB与抛物线C在点P处的切线平行．
∵直线AB：y=kx+m，且m为常数，
∴直线AB恒过定点（0，m）．
（2）解：∵=，
=．
∴，
∴当时，恒有．
故存在实数，使得Q点在直线y=-m上运动时，恒有QA⊥QB．
点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．