Question

已知直线y=x-1和椭圆（m＞1）交于A、B两点，若以AB为直径的圆过椭圆的左焦点F，则实数m的值为    ．

Answer 1

【答案】分析：求出F的坐标，直线方程代入椭圆方程并整理，利用韦达定理，结合以AB为直径的圆过椭圆的焦点F，利用向量的数量积公式，即可求得结论．
解答：解：由题意，=1，∴F（-1，0）
直线y=x-1代入椭圆，并整理，得（2m-1）x²-2mx+2m-m²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=，x₁x₂=
∴y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）=
∵以AB为直径的圆过椭圆的左焦点F，∴=0
∴（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=0
∴++1+=0
∴m²-4m+1=0
∴m=
∵m＞1
∴m=
故答案为：
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．