Question

过直线y=-m（m为大于0的常数）上一动点Q作x轴的垂线，与抛物线C：y=x²相交于点P，抛物线上两点A、B满足

PA

+

PB

=2

QP

（1）求证：直线AB与抛物线C在点P处的切线平行，且直线AB恒过定点；
（2）是否存在实数m，使得点Q在直线y=-m上运动时，恒有QA⊥QB，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设直线AB：y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，-m），P（x₀，x₀²），

PA

=(x1-x0，y1-x02)，

PB

=( x2-x0，y0-x02)，

QP

=(0，x02+m)，由

PA

+ 

PB

=2

QP

，得

x1+x2=2x0 y1 +y2=4x02+2m

（*）．联立直线AB和抛物线C方程，得x²-kx-b=0，由此入手能够证明直线AB恒过定点（0，m）．
（2）由

QA

=(x1- x0 ， y1+m)=(x1-

k

2

，y1+m)，

QB

=(x2-x0， y2+m)=(x2-

k

2

，y2+m)．知

QA

•

QB

=(m-

1

4

) k2+4m2-m，由此能够导出存在实数m=

1

4

，使得Q点在直线y=-m上运动时，恒有QA⊥QB．

解答：（1）证明：设直线AB：y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵Q（x₀，-m），P（x₀，x₀²），
∴

PA

=(x1-x0，y1-x02)，

PB

=( x2-x0，y0-x02)，

QP

=(0，x02+m)，
由

PA

+ 

PB

=2

QP

，得

x1+x2=2x0 y1 +y2=4x02+2m

（*）
联立直线AB和抛物线C方程：

y=kx+b y=x2

，得x²-kx-b=0，
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-b，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b=k²+2b，y₁y₂=（x₁x₂）²=b²，
代入（*）式，可得

x0= k 2 b=m

，
∵y′=2x，
∴抛物线C在点P处的切线斜率为2x₀=k，
故直线AB与抛物线C在点P处的切线平行．
∵直线AB：y=kx+m，且m为常数，
∴直线AB恒过定点（0，m）．
（2）解：∵

QA

=(x1- x0 ， y1+m)=(x1-

k

2

，y1+m)，

QB

=(x2-x0， y2+m)=(x2-

k

2

，y2+m)．
∴

QA

•

QB

=(m-

1

4

) k2+4m2-m，
∴当m= 

1

4

时，恒有

QA

•

QB

=0．
故存在实数m=

1

4

，使得Q点在直线y=-m上运动时，恒有QA⊥QB．

点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．