题目内容
如图1,平面四边形ABCD关于直线AC对称,∠A=60°,∠C=90°,CD=2,把△ABD沿BD折起(如图2),使二面角A-BD-C的余弦值等于,对于图2,完成以下各小题:
(1)求A,C两点间的距离;
(2)证明:AC⊥平面BCD;
(3)求直线AC与平面ABD所成角的正弦值。
解:(Ⅰ)取BD的中点E,连接AE,CE,
由,得:,
∴就是二面角A-BD-C的平面角,
∴,
在,
,
∴AC=2。
(Ⅱ)由,
∴,
∴,
∴,
又,
∴AC⊥平面BCD;
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,,
∴平面ACE⊥平面ABD,平面ACE∩平面ABD=AE,
作,则CF⊥平面ABD,
∠CAF就是AC与平面ABD所成的角,
∴。
由,得:,
∴就是二面角A-BD-C的平面角,
∴,
在,
,
∴AC=2。
(Ⅱ)由,
∴,
∴,
∴,
又,
∴AC⊥平面BCD;
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,,
∴平面ACE⊥平面ABD,平面ACE∩平面ABD=AE,
作,则CF⊥平面ABD,
∠CAF就是AC与平面ABD所成的角,
∴。
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