Question

如图1，平面四边形ABCD关于直线AC对称，∠A=60°，∠C=90°，CD=2．把△ABD沿BD折起（如图2），使二面角A-BD-C的余弦值等于．对于图2：
（Ⅰ）求AC；
（Ⅱ）证明：AC⊥平面BCD；
（Ⅲ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）取BD的中点E，先证得∠AEC就是二面角A-BD-C的平面角，再在△ACE中利用余弦定理即可求得AC；
（II）欲证线面垂直，转化为证明线线垂直，证明AC⊥BC，AC⊥CD即可；
（III）欲求直线AC与平面ABD所成角，先结合（I）中的垂直关系作出直线AC与平面ABD所成角，最后利用直角三角形中的边角关系即可求出所成角的正弦值．
解答：（Ⅰ）解：取BD的中点E，连接连接AE，CE，
由AB=AD，CB=CD，得：AE⊥BD，CE⊥BD
∴∠AEC就是二面角A-BD-C的平面角，
∴cos∠AEC=
在△ACE中，AE=，CE=
∴AC²=AE²+CE²-2AE•CE•cos∠AEC=6+2-2×××=4
∴AC=2；
（Ⅱ）由AD=BD=2，AC=BC=CD=2
∴AC²+BC²=AB²，AC²+CD²=AD²，
∴∠ACB=∠ACD=90°
∴AC⊥BC，AC⊥CD，
又BC∩CD=C，
∴AC⊥平面BCD．
（（Ⅲ）由（Ⅰ）知BD⊥平面ACE，BD?平面ABD
∴平面ACE⊥平面ABD，平面ACE∩平面ABD=AE，
作CF⊥AE交AE于F，则CF⊥平面ABD，∠CAF就是AC与平面ABD所成的角，
∴sin∠CAF=sin∠CAE==
点评：本题考查余弦定理的运用，二面角、线面角的求法，线面垂直的判定，以及数形结合数学、空间想象能力或用向量解决立体几何问题的方法能力．