题目内容
【题目】已知数列中,
, 且
.
(1)求的值及数列
的通项公式;
(2)令, 数列
的前
项和为
, 试比较
与
的大小;
(3)令, 数列
的前
项和为
, 求证: 对任意
, 都有
.
【答案】(1);(2)当
时,
,当
时,
;(3)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)令,求得
,同理令
,求得
.对
两边除以
,得到
,利用累加法求得
,所以
;(2)化简
,则
,.记函数
,利用
可得当
时,
;当
时,
;(3)化简
,故
,利用放缩法
,利用裂项求和法证得
.
试题解析:
(1)当时,
, 当
时,
,因为
,所以
,当
时,由累加法得
, 因为
,所以
时,有
,即
,又
时,
,故
.
(2)时,
,则
.
记函数,所以
,
则,所以
.由于
,此时
,
,此时
,
,此时
,由于
,故
时,
,此时
.综上所述,当
时,
;当
时,
.
(3)证明: 对于,有
,
当时,
.所以当
时,
.且
.故对
得证.
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