题目内容

设函数f(x)=x+
alnx
x
，其中a为常数．
（1）证明：对任意a∈R，y=f（x）的图象恒过定点；
（2）当a=-1时，判断函数y=f（x）是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；
（3）若对任意a∈（0，m]时，y=f（x）恒为定义域上的增函数，求m的最大值．
（1）令lnx=0，得x=1，且f（1）=1，
所以y=f（x）的图象过定点（1，1）；
（2）当a=-1时，f(x)=x-
lnx
x
，f/(x)=1-
1-lnx
x2
=
x2+lnx-1
x2

令g（x）=x2+lnx-1，经观察得g（x）=0有根x=1，下证明g（x）=0无其它根．g/(x)=2x+
1
x
，
当x＞0时，g/（x）＞0，即y=g（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．
所以g（x）=0有唯一根x=1；
且当x∈（0，1）时，f/(x)=
g(x)
x2
＜0，f（x）在（0，1）上是减函数；
当x∈（1，+∞）时，f/(x)=
g(x)
x2
＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数
所以x=1是f（x）的唯一极小值点．极小值是f(1)=1-
ln1
1
=1．
（3）f/(x)=1+
a-alnx
x2
=
x2-alnx+a
x2
，令h（x）=x2-alnx+a
由题设，对任意a∈（0，m]，有h（x）≥0，x∈（0，+∞），
又h/(x)=
2x2-a
x
=
2(x-
a
2
)(x+
a
2
)
x

当x∈(0，
a
2
)
时，h/（x）＜0，h（x）是减函数；
当x∈(
a
2
，+∞)时，h/（x）＞0，h（x）是增函数；
所以当x=
a
2
时，h（x）有极小值，也是最小值h(
a
2
)=(
3
2
-ln
a
2
)a，
又由h（x）≥0得(
3
2
-ln
a
2
)a≥0，得a≤2e3，即m的最大值为2e3．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
设函数f（x）=p（x-
1
x
）-2lnx，g（x）=
2e
x
（p是实数，e为自然对数的底数）
（1）若f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；
（2）若直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象相切于点（1，0），求p的值；
（3）若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求p的取值范围．
设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+1）≥f（x），则称f（x）为M上的高调函数．现给出下列三个命题：
①函数f(x)=(
12
)x为R上的l高调函数；
②函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数；
③如果定义域是[-1，+∞）的函数f（x）=x2为[-1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围[2，+∞）；
其中正确的命题是
②③
②③
（填序号）
设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x）恒成立；当x∈[0，1]时，f（x）=x3-4x+3．有下列命题：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②当x∈[-1，0]时f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的图象与x轴的交点的横坐标由小到大构成一个无穷等差数列；
④关于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7个不同的根．
其中真命题的个数为（　　）
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

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