题目内容
抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y2=2px(p＞0).一光源在点M(
,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，折射后又射向抛物线上的点Q，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l：2x-4y-17=0上的点N，再折射后又射回点M(如图所示).
（1）设P、Q两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，证明y1·y2=-p2；
（2）求抛物线的方程；
（3）试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M关于PN所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由.
思路分析：本题是一道与物理中的光学知识相结合的综合性题目.
证明:由抛物线的光学性质及题意，知光线PQ必过抛物线的焦点F(
，0)，设直线PQ的方程为y=k(), ①
由①式,得x=
.
将其代入抛物线方程y2=2px中，整理得y2-
-p2=0.由韦达定理，y1y2=-p2.
当直线PQ的斜率角为90°时，将x=
代入抛物线方程，得y=±p,同样得到y1·y2=-p2.
(2)解：因为光线QN经直线l反射后又射向M点，所以直线MN与直线QN关于直线l对称.设点M(
，4)关于l的对称点为M′(x′,y′)，
则
解得
直线QN的方程为y=-1,Q点的纵坐标y2=-1.
由题设P点的纵坐标y1=4，且由(1)知：y1·y2=-p2,则4·(-1)=-p2,得p=2.
故所求抛物线方程为y2=4x.
(3)解：将y=4代入y2=4x,得x=4.故P点坐标为(4，4).将y=-1代入直线l的方程为2x-4y-17=0.得x=
.故N点坐标为(
，-1).由P、N两点坐标得直线PN的方程为2x+y-12=0.
设M点关于直线NP的对称点为M1(x1,y1)，
则
解得
又M1(
,-1)的坐标是抛物线方程y2=4x的解，
故抛物线上存在一点(
，-1)与点M关于直线PN对称.
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，4）处，由其发出的光线沿平行于抛物线对称轴的方向射向抛物线上的点P，折射后又射向抛物线上的点Q，再折射后，又沿平行于抛物线对称轴的方向射出，途中遇到直线l:2x-4y-17=0上的点N，再折射后又射回点M（如图所示）.
