Question

已知F₁、F₂是双曲线的左、右焦点，点P（x，y）是双曲线右支上的一个动点，且|PF₁|的最小值为8，与的数量积的最小值是-16．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点C（9，16）能否作直线l与双曲线交于A、B两点，使C为线段AB的中点．若能，求出直线l的方程；若不能，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1））由|PF₁|=ex+a≥e•a+a=c+a，得a+c=8①，消掉y可得的最小值，令其为-16②，结合a²+b²=c²可得a，b；
（2）平方差法：假设存在这样的直线满足题条件，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入双曲线方程并作差，可得直线AB的斜率k，从而可得直线l的方程，然后联立直线与双曲线的方程消掉y可得△＞0，从而得到结论；
解答：解：（1）∵|PF₁|=ex+a≥e•a+a=c+a，当且仅当x=a时，等号取得，
∴|PA|的最小值为c+a，∴c+a=8①，
∴，
由知，
∴=，
∴当且仅当x=a时，等号取得，
∴的最小值为-b²，∴b²=16，即b=4②，
又∵c²=a²+b²③
∴由①②③得a=3，b=4，c=5
∴所求双曲线的方程为；
（2）假设存在这样的直线满足题条件，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则有④，⑤，
④-⑤得16（x₁+x₂）（x₁-x₂）-9（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
则，
∴直线l的方程为y-x=7，
将直线l：y-x=7与双曲线16x²-9y²=144组成方程组消去y，得7x²-126x-585=0，其根的判别式△＞0，
∴这样的直线l存在，方程为x-y+7=0；
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的方程和性质，涉及弦中点问题往往运用平方差法．