Question

（2013•南通一模）已知直线y=ax+3与圆x²+y²+2x-8=0相交于A，B两点，点P（x₀，y₀）在直线y=2x上，且PA=PB，则x₀的取值范围为

（-1，0）∪（0，2）

．

Answer 1

分析：由题意可得CP垂直平分AB，且 y₀=2x₀．由

2x0-0

x0+1

•a=-1，解得 x₀=

-1

2a+1

．把直线y=ax+3代入圆x²+y²+2x-8=0化为关于x的一元二次方程，由△＞0，求得a的范围，从而可得x₀的取值范围．

解答：解：圆x²+y²+2x-8=0 即 （x+1）²+y²=9，表示以C（-1，0）为圆心，半径等于3的圆．
∵PA=PB，∴CP垂直平分AB，∵P（x₀，y₀）在直线y=2x上，∴y₀=2x₀．
 又CP的斜率等于

2x0-0

x0+1

，∴

2x0-0

x0+1

•a=-1，解得 x₀=

-1

2a+1

．
把直线y=ax+3代入圆x²+y²+2x-8=0可得，（a²+1）x²+（6a+2）x+1=0．
由△=（6a+2）²-4（a²+1）＞0，求得 a＞0，或a＜-

3

4

．
∴-1＜

-1

2a+1

＜0，或 0＜

-1

2a+1

＜2．
故x₀的取值范围为 （-1，0）∪（0，2），
故答案为 （-1，0）∪（0，2）．

点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，不等式的性质应用，属于中档题．