Question

设数列{a_n}的前项和为S_n，且对任意正整数，a_n+S_n=4096，（注：1024=2¹⁰，2048=2¹¹，4096=2¹²）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{log₂a_n}的前项和为T_n，对数列{T_n}，从第几项起T_n≤-165？

Answer 1

分析：（1）由a_n+S_n=4096，知a₁+S₁=4096，a₁=2048．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=a_n-1-a_n，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由log₂a_n=log₂[2048（

1

2

）^n-1]=12-n，知T_n=

1

2

（-n²+23n）．由此能求出从第几项起T_n≤-165．

解答：解：（1）∵a_n+S_n=4096，
∴a₁+S₁=4096，
a₁=2048．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（4096-a_n）-（4096-a_n-1）=a_n-1-a_n
∴

an

an-1

=

1

2

，
∴a_n=2048（

1

2

）^n-1．
（2）∵log₂a_n=log₂[2048（

1

2

）^n-1]=12-n，
∴T_n=

1

2

（-n²+23n）．
由T_n≤-165，
解得n≥33，
故从第33项起，T_n≤-165．

点评：本题考查函数与数列的综合，是中档题．解题时要认真审题，注意数列的通项公式的求法和数列前n项和公式的应用．