题目内容
已知函数f（x）=asinx-x+b（a，b均为正常数）．
（1）若a=2，求函数f（x）在区间[0，π]上的单调减区间；
（2）设函数在x=
处有极值．
①对于一切x∈[0，
]，不等式f(x)＞
sin(x+
)恒成立，求b的取值范围；
②若函数f（x）在区间(
π，
π)上是单调增函数，求实数m的取值范围．
（1）若a=2，求函数f（x）在区间[0，π]上的单调减区间；
（2）设函数在x=
| π |
| 3 |
①对于一切x∈[0，
| π |
| 2 |
| 2 |
| π |
| 4 |
②若函数f（x）在区间(
| m-1 |
| 3 |
| 2m-1 |
| 3 |
分析：（1）a=2时，函数f（x）=2sinx-x+b，求导函数可得：f′（x）=2cosx-1，令f′（x）＜0，结合x∈[0，π]，可得函数的单调减区间；
（2）f′（x）=acosx-1，利用函数在x=
处有极值，可得f（x）=2sinx-x+b
①不等式f(x)＞
sin(x+
)可化为：sinx-cosx-x＞-b，构造函数g（x）=sinx-cosx-x，x∈[0，
]，求出函数的最小值，即可求得b的取值范围；
②由(
π，
π)得：
π＞
π，所以m＞0，求出的单调增区间，利用函数f（x）在区间(
π，
π)上是单调增函数，即可求得m的取值范围．
（2）f′（x）=acosx-1，利用函数在x=
| π |
| 3 |
①不等式f(x)＞
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
②由(
| m-1 |
| 3 |
| 2m-1 |
| 3 |
| 2m-1 |
| 3 |
| m-1 |
| 3 |
| m-1 |
| 3 |
| 2m-1 |
| 3 |
解答：解：（1）a=2时，函数f（x）=2sinx-x+b，求导函数可得：f′（x）=2cosx-1
令f′（x）＜0，可得cosx＜
∵x∈[0，π]，∴
＜x＜π
∴函数的单调减区间为(
，π)
（2）f′（x）=acosx-1，由已知得：f′(
)=0，所以a=2，所以f（x）=2sinx-x+b
①不等式f(x)＞
sin(x+
)可化为：sinx-cosx-x＞-b
记函数g（x）=sinx-cosx-x，x∈[0，
]
g′(x)=cosx+sinx-1=
sin(x+
)-1x∈[0，
]，所以x+
∈[
，
]，g′（x）＞0
函数在x∈[0，
]上是增函数，最小值为g（0）=-1
所以b＞1，
所以b的取值范围是（1，+∞）
②由(
π，
π)得：
π＞
π，所以m＞0
令f′（x）=2cosx-1＞0，可得2kπ-
＜x＜2kπ+
，k∈Z
∵函数f（x）在区间(
π，
π)上是单调增函数，
∴
π≥2kπ-
且
π≤2kπ+
∴6k≤m≤3k+1
∵m＞0，∴3k+1＞0，6k≤3k+1
∴k=0
∴0＜m≤1
令f′（x）＜0，可得cosx＜
| 1 |
| 2 |
∵x∈[0，π]，∴
| π |
| 3 |
∴函数的单调减区间为(
| π |
| 3 |
（2）f′（x）=acosx-1，由已知得：f′(
| π |
| 3 |
①不等式f(x)＞
| 2 |
| π |
| 4 |
记函数g（x）=sinx-cosx-x，x∈[0，
| π |
| 2 |
g′(x)=cosx+sinx-1=
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
函数在x∈[0，
| π |
| 2 |
所以b＞1，
所以b的取值范围是（1，+∞）
②由(
| m-1 |
| 3 |
| 2m-1 |
| 3 |
| 2m-1 |
| 3 |
| m-1 |
| 3 |
令f′（x）=2cosx-1＞0，可得2kπ-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∵函数f（x）在区间(
| m-1 |
| 3 |
| 2m-1 |
| 3 |
∴
| m-1 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2m-1 |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴6k≤m≤3k+1
∵m＞0，∴3k+1＞0，6k≤3k+1
∴k=0
∴0＜m≤1
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值、单调区间，考查分离参数法求解恒成立问题，正确运用导数是关键．
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