Question

下列几个命题：
①函数f（x）=x²+（a-3）x+a有两个零点，一个比0大，一个比0小，则a＜0；
②函数y=

x2-1

+

1-x2

是偶函数，但不是奇函数；
③函数f（x）的值域是[-2，2]，则函数f（x+1）的值域为[-3，1]；
④函数f（x）的定义域为[-2，4]，则函数f（3x-4）的定义域是[-10，8]，
⑤函数y=a^x（a＞0且a≠1）与函数y=logaax（a＞0且a≠1）的定义域相同；
⑥函数y=（x-1）²与y=2^x-1在区间[0，+∞）上都是增函数，
其中正确的有

①⑤

．

Answer 1

分析：①利用根的存在性定理判断．②利用函数奇偶性的定义判断．③利用平移不改变函数的值域去判断．④利用复合函数的定义域关系去判断．
⑤利用指数函数和对数函数的定义和性质判断．⑥利用函数的单调性判断．

解答：解：①要使函数有两个零点，一个比0大，一个比0小，则有f（0）＜0，即a＜0，所以①正确．
②要使函数有意义，则有

x2-1≥0 1-x2≥0

，即

x2≥1 x2≤1

，解得x²=1，此时x=1或x=-1，此时函数y=0，为既是奇函数也是偶函数，所以②错误．
③因为函数f（x+1）是由f（x）向左平移一个单位得到的，平移不改变函数的值域，所以函数f（x+1）的值域为[-2，2]，所以③错误．
④因为函数f（x）的定义域为[-2，4]，即-2≤x≤4，由-2≤3x-4≤4，解得

2

3

≤x≤

8

3

，即函数f（3x-4）的定义域是[

2

3

，

8

3

]，所以④错误．
⑤因为a^x＞0，所以对数函数的定义域为R，所以⑤正确．
⑥函数y=（x-1）²的对称轴为x=1，所以在区间[0，+∞）上函数不单调，所以⑥错误．
故答案为：①⑤．

点评：本题主要考查了命题的真假判断以及函数的性质的应用和判断，综合性较强．