Question

已知函数f（x）=x²+ax+b（其中a，b∈R），
（1）若当x∈[-1，1]，f（x）≤0恒成立，求

b-5

a-2

的取值范围；
（2）若a∈[-1，1]，b∈[-1，1]，求f（x）无零点的概率；
（3）若对于任意的正整数k，当x=

55…5

k个5

时，都有f(x)=

55…5

2k个5

成立，则称这样f（x）是K₂函数，现有函数g(x)=

14

5

x2+(a+2)x+b-f(x)，试判断g（x）是不是K₂函数？并给予证明．?

Answer 1

分析：（1）据f（x）≤0恒成立，由有

f(-1)≤0 f(1)≤0

得到

a-b+1≤0 a+b+1≤0

，再观察

b-5

a-2

的结构形式，可用线性规划解决；
（2）据a∈[-1，1]，b∈[-1，1]，可知这是一个几何概型中的面积类型，总面积是直线a=±1，b=±1围成的区域面积，当f（x）有零点时，则判断式大于零，得到a²≥4b，满足条件为

-1≤a≤1 -1≤b≤1 a2≥4b

，可用定积分求得有零点时的面积，从而求得有零  点时的概率，再用对立事件求得无零点时的概率；
（3）g（x）是K₂函数，按照定义证明即可．

解答：解：（1）据题意：

f(-1)≤0 f(1)≤0

∴

a-b+1≤0 a+b+1≤0

可行域如图

b-5

a-2

的几何意义是定点P（2，5）到区域内的点Q（a，b）连线的斜率k，

b-5

a-2

的取值范围为（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（2）当f（x）有零点时，a²≥4b，满足条件为

-1≤a≤1 -1≤b≤1 a2≥4b

由抛物线的下方与a=±1，b=-1围成的区域面积，S1=

∫

1 -1

(

1

4

a2+1)da=(

1

12

a3+a)

|

1 -1

=

13

6

，
由直线a=±1，b=±1围成的区域面积S₂=4，
故f（x）有零点的概率P=

S1

S2

=

13

24

，∴f（x）无零点的概率为

.

P

=1-P=

11

24

；
（3）g（x）是K₂函数，
证明：g(x)=

9

5

x2+2x符合条件，
因为

555

k个5

=5(1+10+100++10k-1)=

5

9

(10k-1)，
同理：

555

2k个5

=

5

9

(102k-1)；g(

555

k个5

)=g(

5

9

(10k-1))=

9

5

[

5

9

(10k-1)]2+2×

5

9

(10k-1)
=

5

9

(10k-1)2+2×

5

9

(10k-1)=

5

9

(10k-1)(10k+1)=

5

9

(102k-1)=

555

2k个5

，
所以，g(x)=

9

5

x2+2x符合条件．

点评：本题主要考查线性规划，（1）关键是确定约束条件和目标函数类型；（2）是结合概率来考查所围成的平面图形的面积；（3）是情境题，这样题的解决要严格执行给定的定义，结合已有的知识解决．