Question

15、求证：不论a，b为何实数，直线（2a+b）x+（a+b）y+a-b=0均通过一定点，并求此定点坐标．

Answer 1

分析：不论a，b为何实数，直线（2a+b）x+（a+b）y+a-b=0均通过一定点，说明直线是直线系，可以按a、b集项，等式恒成立，a、b的系数同时为零，可求出x、y的值，即定点坐标．

解答：证明：把a、b当作未知数，原方程即变为：（2x+y+1）a+（x+y-1）b=0
显然若使a、b的系数同时为0时，则不论a，b为何实数，等式恒成立！
此时：2x+y+1=0且x+y-1=0
解得x=-2；y=3 即直线位于点（-2，3）时，a、b的系数同时为0，不论a，b为何实数，等式恒成立！
∴直线（2a+b）x+（a+b）y+a-b=0恒通过定点（-2，3）．
故直线过定点，定点坐标为：（-2，3）．

点评：直线过定点问题，一般都是直线系问题，方法有按字母未知数集项，等式恒成立；或者未知数赋值法，解方程组得到定点．