题目内容
已知函数f(x)=(1+x)2-aln(1+x)2在(-2,-1)上是增函数,在(-∞,-2)上为减函数.
(1)求f(x)的表达式;
(2)若当x∈[
-1,e-1]时,不等式f(x)<m恒成立,求实数m的取值范围;
(3)是否存在实数b使得关于x的方程f(x)=x2+x+b在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,若存在,求实数b的取值范围.
(1)求f(x)的表达式;
(2)若当x∈[
1 | e |
(3)是否存在实数b使得关于x的方程f(x)=x2+x+b在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,若存在,求实数b的取值范围.
分析:(1)求导数得f'(x)=2•
,由题意得f(-2)为函数的极大值,得f'(-2)=0,建立关于a的方程,解之即可得到f(x)的表达式;
(2)利用导数求出f(x)在[
-1,0)上为减函数且在(0,e-1]上为增函数,得到f(x)的最大值为f(
-1)与f(e-1)中较大的那个,算出f(x)的最大值为f(e-1)=e2-2,即可得到满足条件的m的取值范围;
(3)f(x)=x2+x+b,变形得x-b+1-ln(1+x)2=0,设相应的函数为g(x),利用导数研究出g(x)在[0,1]上单调递减且在[1,2]上单调递增,可得当g(1)<0、g(0)≥0且g(2)≥0时方程f(x)=x2+x+b在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,由此建立关于b的不等式即可得出实数b的取值范围.
x2+2x+1-a |
1+x |
(2)利用导数求出f(x)在[
1 |
e |
1 |
e |
(3)f(x)=x2+x+b,变形得x-b+1-ln(1+x)2=0,设相应的函数为g(x),利用导数研究出g(x)在[0,1]上单调递减且在[1,2]上单调递增,可得当g(1)<0、g(0)≥0且g(2)≥0时方程f(x)=x2+x+b在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,由此建立关于b的不等式即可得出实数b的取值范围.
解答:解:(1)∵f(x)=(1+x)2-aln(1+x)2,
∴求导数,得f'(x)=2(1+x)-
=2•
∵f(x)在(-2,-1)上是增函数,在(-∞,-2)上为减函数
∴f(-2)为函数的极大值,可得f'(-2)=2•
=0,解之得a=1
因此,f(x)的表达式为f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2;
(2)由于f'(x)=2•
=
∴f'(x)=0的零点为x1=-2,x2=0
在区间[
-1,0)上f'(x)<0,在区间(0,e-1]上f'(x)>0
∴f(x)在区间[
-1,0)上为减函数,在区间(0,e-1]上为增函数
可得x∈[
-1,e-1]时,f(x)的最大值为f(
-1)与f(e-1)中较大的那个
∵f(
-1)=
+2,f(e-1)=e2-2>
+2,
∴x∈[
-1,e-1]时,f(x)的最大值为f(e-1)=e2-2
因此不等式f(x)<m恒成立时,实数m的范围为(e2-2,+∞).
(3)若存在实数b使得条件成立,
方程f(x)=x2+x+b,即x-b+1-ln(1+x)2=0,
令g(x)=x-b+1-ln(1+x)2,则g'(x)=1-
=
,
令g'(x)>0,得x<-1或x>1;令g'(x)<0,得-1<x<1,
∴g(x)在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,
要使方程f(x)=x2+x+b在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,
只需g(x)=0在区间[0,1]和[1,2]上各有一个实根,于是有
,解得2-2ln2<b≤3-2ln3,
故存在这样的实数b,当2-2ln2<b≤3-2ln3时满足条件.
∴求导数,得f'(x)=2(1+x)-
2a |
1+x |
x2+2x+1-a |
1+x |
∵f(x)在(-2,-1)上是增函数,在(-∞,-2)上为减函数
∴f(-2)为函数的极大值,可得f'(-2)=2•
(-2)2+2×(-2)+1-a |
1-2 |
因此,f(x)的表达式为f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2;
(2)由于f'(x)=2•
x2+2x |
1+x |
2x(x+2) |
x+1 |
∴f'(x)=0的零点为x1=-2,x2=0
在区间[
1 |
e |
∴f(x)在区间[
1 |
e |
可得x∈[
1 |
e |
1 |
e |
∵f(
1 |
e |
1 |
e 2 |
1 |
e 2 |
∴x∈[
1 |
e |
因此不等式f(x)<m恒成立时,实数m的范围为(e2-2,+∞).
(3)若存在实数b使得条件成立,
方程f(x)=x2+x+b,即x-b+1-ln(1+x)2=0,
令g(x)=x-b+1-ln(1+x)2,则g'(x)=1-
2 |
x+1 |
x-1 |
x+1 |
令g'(x)>0,得x<-1或x>1;令g'(x)<0,得-1<x<1,
∴g(x)在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,
要使方程f(x)=x2+x+b在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,
只需g(x)=0在区间[0,1]和[1,2]上各有一个实根,于是有
|
故存在这样的实数b,当2-2ln2<b≤3-2ln3时满足条件.
点评:本题给出含有对数的基本初等函数,求函数的解析式并由此讨论方程根的分布.着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的极值与最值求法和不等式恒成立的处理等知识,属于中档题.
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1 |
f(n) |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|