题目内容

已知函数f(x)=(1+x)2-aln(1+x)2在(-2,-1)上是增函数,在(-∞,-2)上为减函数.
(1)求f(x)的表达式;
(2)若当x∈[
1e
-1,e-1]
时,不等式f(x)<m恒成立,求实数m的取值范围;
(3)是否存在实数b使得关于x的方程f(x)=x2+x+b在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,若存在,求实数b的取值范围.
分析:(1)求导数得f'(x)=2•
x2+2x+1-a
1+x
,由题意得f(-2)为函数的极大值,得f'(-2)=0,建立关于a的方程,解之即可得到f(x)的表达式;
(2)利用导数求出f(x)在[
1
e
-1,0)
上为减函数且在(0,e-1]上为增函数,得到f(x)的最大值为f(
1
e
-1)
与f(e-1)中较大的那个,算出f(x)的最大值为f(e-1)=e2-2,即可得到满足条件的m的取值范围;
(3)f(x)=x2+x+b,变形得x-b+1-ln(1+x)2=0,设相应的函数为g(x),利用导数研究出g(x)在[0,1]上单调递减且在[1,2]上单调递增,可得当g(1)<0、g(0)≥0且g(2)≥0时方程f(x)=x2+x+b在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,由此建立关于b的不等式即可得出实数b的取值范围.
解答:解:(1)∵f(x)=(1+x)2-aln(1+x)2
∴求导数,得f'(x)=2(1+x)-
2a
1+x
=2•
x2+2x+1-a
1+x

∵f(x)在(-2,-1)上是增函数,在(-∞,-2)上为减函数
∴f(-2)为函数的极大值,可得f'(-2)=2•
(-2)2+2×(-2)+1-a
1-2
=0,解之得a=1
因此,f(x)的表达式为f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2
(2)由于f'(x)=2•
x2+2x
1+x
=
2x(x+2)
x+1

∴f'(x)=0的零点为x1=-2,x2=0
在区间[
1
e
-1,0)
上f'(x)<0,在区间(0,e-1]上f'(x)>0
∴f(x)在区间[
1
e
-1,0)
上为减函数,在区间(0,e-1]上为增函数
可得x∈[
1
e
-1,e-1]
时,f(x)的最大值为f(
1
e
-1)
与f(e-1)中较大的那个
∵f(
1
e
-1)
=
1
e 2
+2
,f(e-1)=e2-2>
1
e 2
+2

∴x∈[
1
e
-1,e-1]
时,f(x)的最大值为f(e-1)=e2-2
因此不等式f(x)<m恒成立时,实数m的范围为(e2-2,+∞).
(3)若存在实数b使得条件成立,
方程f(x)=x2+x+b,即x-b+1-ln(1+x)2=0,
令g(x)=x-b+1-ln(1+x)2,则g'(x)=1-
2
x+1
=
x-1
x+1

令g'(x)>0,得x<-1或x>1;令g'(x)<0,得-1<x<1,
∴g(x)在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,
要使方程f(x)=x2+x+b在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,
只需g(x)=0在区间[0,1]和[1,2]上各有一个实根,于是有
g(0)≥0
g(1)<0
g(2)≥0
,解得2-2ln2<b≤3-2ln3,
故存在这样的实数b,当2-2ln2<b≤3-2ln3时满足条件.
点评:本题给出含有对数的基本初等函数,求函数的解析式并由此讨论方程根的分布.着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的极值与最值求法和不等式恒成立的处理等知识,属于中档题.
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