题目内容

设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.

（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;

(3)已知,设直线与圆C:(1<R<2)相切于A1,且与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.

解析：（1）因为,,, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

所以,    即. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

当m=0时,方程表示两直线,方程为;

当时, 方程表示的是圆

当且时,方程表示的是椭圆;

当时,方程表示的是双曲线.

(2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,

要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,

则使△=,

即,即,     且 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

,

要使,   需使,即,

所以,  即且,  即恒成立.

所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

所以圆的半径为,, 所求的圆为.

当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.

综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.

(3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1<R<2)相切于A1, 由（2）知,  即    ①,

因为与轨迹E只有一个公共点B1,

由（2）知得, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

即有唯一解

则△=,    即,     ②

由①②得,   此时A,B重合为B1(x1,y1)点, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

由 中,所以,,

B1(x1,y1)点在椭圆上,所以,所以,

在直角三角形OA1B1中,因为当且仅当时取等号,所以,即

当时|A1B1|取得最大值,最大值为1.

练习册系列答案
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精英家教网如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆
x2
4
+
y2
2
=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k
（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；
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（2013•徐州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距为2，且过点(
2
，
6
2
)．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．
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已知m∈R，设命题p：在平面直角坐标系xOy中，方程
x2
m+2
+
y2
9-m
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3
4
π，
OB=2，设∠AOB=θ，θ∈(
π
2
，
3
4
π)
（1）用θ表示OA
（2）求
OA
•
OB
的最小值．

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