题目内容

已知函数f(x)=
a
bx-1
,其图象过点(2,2)和(5,
1
2
);
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)利用函数单调性的定义判断函数f(x)在区间[2,6]上的单调性;
(3)求f(x)函数在区间[2,6]上的最大值和最小值.
分析:(1)由函数f(x)的图象过点(2,2)和(5,
1
2
),代入坐标可求a、b的值;
(2)用单调性的定义证明函数f(x)在区间[2,6]上是减函数,步骤是①取值,②作差,③判符号,④下结论;
(3)由函数y=
2
x-1
是闭区间上的减函数,在区间的端点上取得最值,求出即可.
解答:解:(1)函数f(x)=
a
bx-1
,图象过点(2,2)和(5,
1
2
),∴
a
2b-1
=2
a
5b-1
=
1
2

解得:a=2,b=1;∴函数f(x)的解析式为:f(x)=
2
x-1
(其中x≠1);
(2)设x1、x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1<x2
则f(x1)-f(x2)=
2
x1-1
-
2
x2-1
=
2[(x2-1)-(x1-1)]
(x1-1)(x2-1)
=
2(x2-x1)
(x1-1)(x2-1)

由2<x1<x2<6,得x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函数y=
2
x-1
是区间[2,6]上的减函数;
(3)因为函数y=
2
x-1
是区间[2,6]上的减函数,
所以函数y=
2
x-1
在区间的两个端点上分别取得最大值和最小值,
即当x=2时,ymax=2,当x=6时,ymin=
2
5
点评:本题是人教版必修一教材中的例题稍作改编的题目,考查了求函数解析式,证明函数单调性,求函数在闭区间上的最值问题,是基础题.
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