Question

13．设数列的通项公式是a_n=$\frac{n-t（t-1）}{n-{t}^{2}}$，若a₃最大，a₄最小，则实数t的取值范围为（　　）

• A． （$\sqrt{3}$，2）
• B． （1，2）
• C． （-2，-$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，2）
• D． （-2，-$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 利用分式函数的性质，利用分子常数化进行化简，结合函数的单调性进行求解即可．

解答 a_n=$\frac{n-t（t-1）}{n-{t}^{2}}$=$\frac{n-{t}^{2}+t}{n-{t}^{2}}$=1+$\frac{t}{n-{t}^{2}}$，
则函数y=1+$\frac{t}{n-{t}^{2}}$的对称中心为（t²，1），
若a₃最大，a₄最小，
则$\left\{\begin{array}{l}{t＜0}\\{3＜{t}^{2}＜4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{t＜0}\\{\sqrt{3}＜t＜2或-2＜t＜-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
即-2＜t＜-$\sqrt{3}$，
即实数t的取值范围是（-2，-$\sqrt{3}$），
故选：D

点评 本题主要考查数列的函数性质，利用分式函数的性质，利用分离常数化是解决本题的关键．