Question

如图所示，圆柱的高为2，底面半径为

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，AE、DF是圆柱的两条母线，过AD作圆柱的截面交下底面于BC．
（1）求证：BC∥EF；
（2）若四边形ABCD是正方形，求证BC⊥BE；
（3）在（2）的条件下，求二面角A-BC-E的平面角的一个三角函数值．

Answer 1

分析：（1）由圆柱的性质知：AD平行平面BCFE，又过AD作圆柱的截面交下底面于BC．AD∥BC，由此能够证明BC∥EF．
（2）由四边形ABCD是正方形，知BC⊥AB，又AE⊥BC，由此能够证明BC⊥BE．
（3）设正方形ABCD的边长为x，则在Rt△AEB中有：BE²=x²-4在Rt△FEB中有：BE²+x²=28，由此能够求出二面角A-BC-E的平面角的一个三角函数值．

解答：证明：（1）由圆柱的性质知：AD平行平面BCFE
又过AD作圆柱的截面交下底面于BC．AD∥BC…..（2分）
又AE、DF是圆柱的两条母线AE∥DF，且AE=DF，
∴四边形ADFE是平行四边形AD∥EF，
∴BC∥EF…．（4分）
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC⊥AB，又AE⊥BC，
BE、AE是平面ABE内两条相交直线，
∴BC⊥平面ABE…（9分）
∴BC⊥BE…（10分）
（3）设正方形ABCD的边长为x，
则在Rt△AEB中有：BE²=x²-4
在Rt△FEB中有：BE²+x²=28
∴x=4…（12分）
由（2）可知：∠ABE为二面角A-BC-E的平面角，
所以sin∠ABE=

AE

AB

=

1

2

…（14分）

点评：本题考查异面直线的平行的证明，考查直线与直线垂直的证明，考查二面角的平面角的三角函数值的计算，解题时要认真审题，仔细解答，合理地化空间问题为平面问题．