Question

【题目】已知由n（n∈N*）个正整数构成的集合A＝{a1，a2，…，an}（a1＜a2＜…＜an，n≥3），记SA＝a1+a2+…+an，对于任意不大于SA的正整数m，均存在集合A的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m.

（1）求a1，a2的值；

（2）求证：“a1，a2，…，an成等差数列”的充要条件是“”；

（3）若SA＝2020，求n的最小值，并指出n取最小值时an的最大值.

Answer 1

【答案】（1）a1＝1，a2＝2；（2）证明见解析；（3）n最小值为11，an的最大值1010

【解析】

（1）考虑元素1，2，结合新定义SA，可得所求值；

（2）从两个方面证明，结合等差数列的性质和求和公式，即可得证；

（3）由于含有n个元素的非空子集个数有2n﹣1，讨论当n＝10时，n＝11时，结合条件和新定义，推理可得所求.

（1）由条件知1≤SA，必有1∈A，又a1＜a2＜…＜an均为整数，a1＝1，

2≤SA，由SA的定义及a1＜a2＜…＜an均为整数，必有2∈A，a2＝2；

（2）证明：必要性：由“a1，a2，…，an成等差数列”及a1＝1，a2＝2，

得ai＝i（i＝1，2，…，n）此时A＝{1，2，3，…，n}满足题目要求，

从而；

充分性：由条件知a1＜a2＜…＜an，且均为正整数，可得ai≥i（i＝1，2，3，…，n），

故，当且仅当ai＝i（i＝1，2，3，…，n）时，上式等号成立.

于是当时，ai＝i（i＝1，2，3，…，n），从而a1，a2，…，an成等差数列.

所以“a1，a2，…，an成等差数列”的充要条件是“”；

（Ⅲ）由于含有n个元素的非空子集个数有2n-1，故当n＝10时，210﹣1＝1023，

此时A的非空子集的元素之和最多表示1023个不同的整数m，不符合要求.

而用11个元素的集合A＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024}的非空子集的元素之和

可以表示1，2，3，…，2046，2047共2047个正整数.

因此当SA＝2020时，n的最小值为11.

记S10＝a1+a2+…+a10，则S10+a11＝2020并且S10+1≥a11.

事实上若S10+1＜a11，2020＝S10+a11＜2a11，则a11＞1010，S10＜a11＜1010，

所以m＝1010时无法用集合A的非空子集的元素之和表示，与题意不符.

于是2020＝S10+a11≥2a11﹣1，得，，所以a11≤1010.

当a11＝1010时，A＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256，499，1010}满足题意，

所以当SA＝2020时，n的最小值为11，此时an的最大值1010.