题目内容
(本小题满分12分)
已知m>1,直线,椭圆C:
,
、
分别为椭圆C的左、右焦点.
(Ⅰ)当直线过右焦点时,求直线的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆C交于A、B两点,△A、△B
的重心分别为G、H.若原点O在以线段GH为直径的圆内,求实数m的取值范围.
解:(Ⅰ)因为直线经过点
(
,0),所以
=
,得
.又因为m>1,所以
,故直线的方程为
.
(Ⅱ)设,由
,消去x,得
,
则由,知
<8,且有
由题意知O为的中点.由
可知
,
从而,设M是GH的中点,则M(
).
由题意可知,2|MO|<|GH|, 所以<
,
<0,
而=(
)(
)
=
,
所以<0,即
又因为m>1且
>0,从而1<m<2,
故m的取值范围是(1,2).

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