题目内容
已知锐角△ABC中的三个内角分别为A，B，C．
（1）设
•
=
•
，求证△ABC是等腰三角形；
（2）设向量
=(2sinC，-
)，
=(cos2C，2cos2
-1)，且
∥
，若sinA=
，求sin(
-B)的值．
（1）设
| BC |
| CA |
| CA |
| AB |
（2）设向量
| s |
| 3 |
| t |
| C |
| 2 |
| s |
| t |
| 12 |
| 13 |
| π |
| 3 |
分析：（1）利用
•
=
•
，推出
2-
2=0，得到|
|=|
|，即可证明△ABC是等腰三角形；
（2）利用
∥
，求出C的值，通过sinA=
，求出cosA，然后利用两角差的正弦函数求sin(
-B)的值．
| BC |
| CA |
| CA |
| AB |
| AB |
| BC |
| AB |
| BC |
（2）利用
| s |
| t |
| 12 |
| 13 |
| π |
| 3 |
解答：解：（1）因为
•
=
•
，所以
•(
-
)=0，
又
+
+
=0，
所以
=-(
+
)，所以-(
+
)•(
-
)=0，
所以
2-
2=0，（4分）
所以|
|2=|
|2，即|
|=|
|，故△ABC为等腰三角形． （6分）
（2）∵
∥
，∴2sinC（2cos2
-1）=-
cos2C，
∴sin2C=-
cos2C，即tan2C=-
，
∵C为锐角，∴2C∈（0，π），
∴2C=
，∴C=
． （8分）
∴A=
-B，
∴sin(
-B)=sin[(
-B)-
]=sin(A-
)． （10分）
又sinA=
，且A为锐角，∴cosA=
，（12分）
∴sin(
-B)=sin(A-
)=sinAcos
-cosAsin
=
． （14分）
| BC |
| CA |
| CA |
| AB |
| CA |
| BC |
| AB |
又
| AB |
| BC |
| CA |
所以
| CA |
| AB |
| BC |
| AB |
| BC |
| BC |
| AB |
所以
| AB |
| BC |
所以|
| AB |
| BC |
| AB |
| BC |
（2）∵
| s |
| t |
| C |
| 2 |
| 3 |
∴sin2C=-
| 3 |
| 3 |
∵C为锐角，∴2C∈（0，π），
∴2C=
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴A=
| 2π |
| 3 |
∴sin(
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
又sinA=
| 12 |
| 13 |
| 5 |
| 13 |
∴sin(
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
12-5
| ||
| 26 |
点评：本题考查向量的数量积与向量的平行的应用，两角和与差的三角函数，注意角的范围的确定是解题的关键，考查计算能力．
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