Question

5．函数f（x）=x+$\sqrt{1-{x}^{2}}$的定义域为[-1，1]，值域为[1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由1-x²≥0求函数的定义域，利用换元法令x=sina，（-$\frac{π}{2}$≤a≤$\frac{π}{2}$），则$\sqrt{1-{x}^{2}}$=cosa，从而求函数的值域．

解答 解：由题意得，1-x²≥0，解得，-1≤x≤1；
令x=sina，（-$\frac{π}{2}$≤a≤$\frac{π}{2}$），则$\sqrt{1-{x}^{2}}$=cosa，
则y=sina+cosa=$\sqrt{2}$sin（a+$\frac{π}{4}$），
故-1≤y$≤\sqrt{2}$，
故答案为：[-1，1]，[-1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了函数的定义域与值域的求法及换元法的应用．