Question

18．已知数列{a_n}的前n项和S_n=2na_n+1 -3n²-4n，S₃=15，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 数列{a_n}的前n项和S_n=2na_n+1 -3n²-4n，S₃=15，令n=1，2，可得a₁=2a₂-7，a₁+a₂=4a₂-20，a₁+a₂+a₃=15，解得a₁=3，a₂=5，a₃=7，猜想a_n=2n+1．利用数学归纳法证明即可．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和S_n=2na_n+1 -3n²-4n，S₃=15，
令n=1，2，可得a₁=2a₂-7，a₁+a₂=4a₂-20，a₁+a₂+a₃=15，
联立解得a₁=3，a₂=5，a₃=7，
猜想a_n=2n+1．
下面利用数学归纳法证明：（1）当n=1时，a₁=3，成立．
（2）假设当n=k∈N^*时，a_k=2k+1，
∵S_n=2na_n+1 -3n²-4n，∴当n≥2时，S_n-1=2（n-1）a_n-3（n-1）²-4（n-1），
∴a_n=2na_n+1 -3n²-4n-2（n-1）a_n+3（n-1）²+4（n-1），
∴2na_n+1+（1-2n）a_n=6n+1．
令n=k，则2ka_k+1+（1-2k）（2k+1）=6k+1，
化为a_k+1=2k+3=2（k+1）+1．
∴当n=k+1时，命题成立．
∴a_n=2n+1对于?n∈N^*都成立．
∴a_n=2n+1．

点评 本题考查了递推式的应用、利用数学归纳法证明通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．