题目内容

某电视台举办了“中华好声音”大型歌手选秀活动,过程分为初赛、复赛和决赛,经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班,由组委会聘请两位导师各负责一个班进行声乐培训。下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图:

赛制规定:参加复赛的40名选手中,获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛,若第5名出现并列,则一起进入决赛;另外,票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”。
1、从进入决赛的选手中随机抽出3名,求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率;
2、电视台决定,复赛票数不低于85票的选手将成为电视台的“签约歌手”,请填写下面的2×2列联表,并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成为‘签约歌手’与选择的导师有关?
 
甲班
乙班
合计
签约歌手
 
 
 
末签约歌手
 
 
 
合计
 
 
 
下面临界值表仅供参考:
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式:K2= ,其中
(Ⅰ).
(Ⅱ)因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成为‘签约歌手’与选择的导师有关.

试题分析:(Ⅰ)进入决赛的选手共6名,其中拥有“优先挑战权”的选手共3名.    2分
为拥有“优先挑战权”的选手编号为1,2,3,其余3人编号为A,B,C.
被选中3人的编号所有可能的情况共20种,列举如下:
123,12A,12B,12C,13A,13B,13C,1AB,1AC,1BC,
23A,23B,23C,2AB,2AC,2BC,
3AB,3AC,3BC,
ABC,              4分
其中拥有“优先挑战权”的选手恰有1名的情况共9种,如下:
1AB,1AC,1BC,2AB,2AC,2BC,3AB,3AC,3BC,
∴所求概率为.              6分
(Ⅱ)列联表:
 
甲班
乙班
合计
签约歌手
3
10
13
未签约歌手
17
10
27
合计
20
20
40
9分

因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成为‘签约歌手’与选择的导师有关. 12分
点评:典型题,统计中的抽样方法,频率直方图,概率计算及分布列问题,是高考必考内容及题型。古典概型概率的计算问题,关键是明确基本事件数,往往借助于“树图法”,做到不重不漏。“卡方检验”问题,往往直接套用公式加以计算,对照“定值”比较,作出判断。
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