题目内容
【题目】已知椭圆 上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的
倍,且点
在椭圆
上.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点任作一条直线
,
与椭圆
交于不同于
点的
、
两点,
与直线
交于
点,记直线
、
、
的斜率分别为
、
、
.试探究
与
的关系,并证明你的结论.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)答案见解析.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为,
,据此可得
,设椭圆
的方程为:
,结合点
在椭圆
上可得椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)很明显直线的斜率存在,设直线的方程为:
即
,
,
为
与椭圆
的两个交点.联立直线方程与椭圆方程有
.结合韦达定理可得
.由
可得
,则
.综上可知
.
试题解析:
(Ⅰ)因为椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为
,
,所以依题意有:
,
∵,∴
.故可设椭圆
的方程为:
,
因为点在椭圆
上,所以将其代入椭圆
的方程得
.
∴椭圆的方程为
.
(Ⅱ)依题意,直线不可能与
轴垂直,故可设直线
的方程为:
即
,
,
为
与椭圆
的两个交点.
将代入方程
化简得:
.
所以,
.
.
又由 ,解得
,
,
即点的坐标为
,所以
.
因此,与
的关系为:
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为评估设备生产某种零件的性能,从设备
生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表:
直径/ | 58 | 59 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 73 | 合计 |
件数 | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
经计算,样本的平均值,标准差
,以频率值作为概率的估计值.
(1)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为,并根据以下不等式进行评判(
表示相应事件的概率);
①;
②;
③
评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙;若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁,试判断设备的性能等级.
(2)将直径小于等于或直径大于
的零件认为是次品.
①从设备的生产流水线上随意抽取2件零件,计算其中次品个数
的数学期望
;
②从样本中随意抽取2件零件,计算其中次品个数的数学期望
.