Question

（1）求函数y=(

1

3

)x2-2x-1的值域和单调区间．
（2）已知-1≤x≤2，求函数f（x）=3+2•3^x+1-9^x的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）设函数y=(

1

3

)x2-2x-1=(

1

3

)t，t=x²-2x-1=（x-1）²-2≥-2，由此能求出函数y=(

1

3

)x2-2x-1的值域；在函数y=(

1

3

)x2-2x-1中，

1

3

＜1，t=x²-2x-1的对称轴是x=1，由此能求出函数y=(

1

3

)x2-2x-1的单调区间．
（2）由-1≤x≤2，知

1

3

≤3x≤9，由f（x）=3+2•3^x+1-9=-（3^x-3）²+12，能求出函数f（x）=3+2•3^x+1-9^x的最大值和最小值．

解答：解：（1）设函数y=(

1

3

)x2-2x-1=(

1

3

)t，
t=x²-2x-1=（x-1）²-2≥-2，
∴函数y=(

1

3

)x2-2x-1的值域是（0，9]；
在函数y=(

1

3

)x2-2x-1中，
∵

1

3

＜1，t=x²-2x-1的对称轴是x=1，增区间是[1，+∞），减区间是（-∞，1]，
∴函数y=(

1

3

)x2-2x-1的增区间是（-∞，1]，减区间是[1，+∞）．
（2）∵-1≤x≤2，∴

1

3

≤3x≤9，
∵f（x）=3+2•3^x+1-9^x
=3+6•3^x-（3^x）²
=-（3^x-3）²+12，
∴3^x=3时，f（x）取最大值12，
3^x=9时，f（x）取最小值-24．

点评：本题考查指数型复合函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．