题目内容
已知函数f（x）=Asinωx+Bcosωx（其中A、B、ω是非零常数，且ω＞0）的最小正周期为2，且当x=
时，f（x）取得最大值2．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数f（x+
）的单调递增区间，并指出该函数的图象可以由函数y=2sinx，x∈R的图象经过怎样的变换得到？
（3）在闭区间[
，
]上是否存在f（x）的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，则说明理由．
| 1 |
| 3 |
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数f（x+
| 1 |
| 6 |
（3）在闭区间[
| 21 |
| 4 |
| 23 |
| 4 |
分析：（1）先利用两角和的正弦公式将函数化为y=Asin（ω+φ）的形式，再利用周期公式得ω的值，最后将点（
，2）代入原函数即可解得A、B的值
（2）先求得函数f(x+
)=2sin(πx+
)，再将πx+
看做整体代入正弦函数的单调增区间，即可得此函数的单调增区间，再利用函数图象平移和伸缩变换理论写出变换过程即可
（3）因为f(x)=2sin(πx+
)，先求πx+
的范围，与正弦函数图象的对称轴对照即可得此函数的对称轴
| 1 |
| 3 |
（2）先求得函数f(x+
| 1 |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
（3）因为f(x)=2sin(πx+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
解答：解：（1）∵函数f（x）=Asinωx+Bcosωx（其中A、B、ω是非零常数，且ω＞0）
∴f(x)=
sin(ωx+?)
而f（x）的最小正周期为2，，∴
=2，即ω=π
又当x=
时，f（x）取得最大值2，
∴
而A、B非零，由此解得A=
，B=1
∴f(x)=
sinπx+cosπx，即f(x)=2sin(πx+
)
（2）由（1）知：f(x)=2sin(πx+
)
∴f(x+
)=2sin(πx+
)
由2kπ-
≤πx+
≤2kπ+
(k∈Z)
得：2k-
≤x≤2k+
(k∈Z)
∴f(x+
)的单调递增区间为[2k-
，2k+
](k∈Z)
f(x+
)=2sin(πx+
)的图象可由y=2sinx，x∈R的图象先向左平移
个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍而纵坐标不变得到．
（3）∵f(x)=2sin(πx+
)
由x∈[
，
]，有πx+
∈[
，
]
当πx+
=
，即x=
时，f（x）取得最大值，
∴其对称轴方程为x=
．
∴f(x)=
| A2+B2 |
而f（x）的最小正周期为2，，∴
| 2π |
| ω |
又当x=
| 1 |
| 3 |
∴
|
而A、B非零，由此解得A=
| 3 |
∴f(x)=
| 3 |
| π |
| 6 |
（2）由（1）知：f(x)=2sin(πx+
| π |
| 6 |
∴f(x+
| 1 |
| 6 |
| π |
| 3 |
由2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
得：2k-
| 5 |
| 6 |
| 1 |
| 6 |
∴f(x+
| 1 |
| 6 |
| 5 |
| 6 |
| 1 |
| 6 |
f(x+
| 1 |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| π |
（3）∵f(x)=2sin(πx+
| π |
| 6 |
由x∈[
| 21 |
| 4 |
| 23 |
| 4 |
| π |
| 6 |
| 65π |
| 12 |
| 71π |
| 12 |
当πx+
| π |
| 6 |
| 11π |
| 2 |
| 16 |
| 3 |
∴其对称轴方程为x=
| 16 |
| 3 |
点评：本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，三角变换公式的运用，函数图象的平移和伸缩变换，整体代入的思想方法
练习册系列答案
相关题目