题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ （a、b是非零实常数）满足f（1）= $数学公式$ ，且方程f（x）=x有且仅有一个实数解．
（1）求a、b的值；
（2）在直角坐标系中，求定点A（0，2）到函数f（x）图象上任意一点P（x，y）的距离|AP|的最小值．
（3）当x∈（ $数学公式$ ]时，不等式（x+1）•f（x）＞m（m-x）-1恒成立，求实数m的取值范围．

解：（1）∵f（x）= $\text{[math]}$ ，且f（1）= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即a+b=2；
又 $\text{[math]}$ =x有且仅有一个实数解，
∴x（ $\text{[math]}$ ）=0有且仅有一个实数解，为0．
∴b=1，a=1．
∴f（x）= $\text{[math]}$ ．
（2）由（1）知，P（x， $\text{[math]}$ ），
|AP|²= $\text{[math]}$ +x²
= $\text{[math]}$ +x²
= $\text{[math]}$ +[（x+1）-1]²，
令t= $\text{[math]}$ ，
则|AP|²=t²+2t+1+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +1
= $\text{[math]}$ +2（t- $\text{[math]}$ ）+4，
令r=t- $\text{[math]}$ ，
则|AP|²=r²+2r+4=（r+1）²+3，
∴当r=-1，即t- $\text{[math]}$ =-1，t= $\text{[math]}$ 时，|AP|的最小值为 $\text{[math]}$ ．
（3）∵x∈（ $\text{[math]}$ ]，
∴x+1＞ $\text{[math]}$ ＞0，
∴（x+1）•f（x）＞m（m-x）-1恒成立?x＞m（m-x）-1恒成立?（1+m）x＞m²-1，
当m+1＞0，即m＞-1时，
有m-1＜x恒成立?m＜x+1?m＜（x+1）_min，
∴-1＜m＜ $\text{[math]}$ ；
当m+1＜0，即m＜-1时，同理可得m＞（x+1）_max= $\text{[math]}$ ，
∴此时m不存在．
综上得-1＜m＜ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）依题意，a+b=2，由x（ $\text{[math]}$ ）=0有且仅有一个实数解x=0可求得b=1，a=1；
（2）由（1）知，P（x， $\text{[math]}$ ），从而可得|AP|²= $\text{[math]}$ +[（x+1）-1]²，通过换元，令t= $\text{[math]}$ ，得|AP|²= $\text{[math]}$ +2（t- $\text{[math]}$ ）+4，再令r=t- $\text{[math]}$ ，通过配方即可求得|AP|的最小值；
（3）依题意，x∈（ $\text{[math]}$ ]时，不等式（x+1）•f（x）＞m（m-x）-1恒成立?（1+m）x＞m²-1恒成立，通过对m+1＞0与m+1＜0的讨论，结合函数恒成立问题即可求得实数m的取值范围．
点评：本题考查函数恒成立问题，考查方程思想、分类讨论思想与等价转化思想的综合应用，考查换元法与配方法，考查推理与运算能力，属于难题．