Question

在数列中，且对任意的成等比数列，其公比为，
（1）若；
（2）若对任意的成等差数列，其公差为．
①求证：成等差数列，并指出其公差；
②若，试求数列的前项和．

Answer 1

(1);(2)①；②或

试题分析：(1)由于，因此成等比数列，且公比为4，故和易求；（2）①要证明是等差数列，就是要证明为常数，也就是要找到与的关系，我们从唯一的已知条件有即，这就是变形为即由此就证得；②求数列的前项和，必须先求出通项，而，因此又应该求出，这时我们来看看已知可得出什么？由得即，解得：或，从而可求得，于是可通过是公差为1的等差数列，求出，下面我们想办法通过把联系起来，，于是
，而再用可得出，所以，那么可求．
试题解析：（1）因为，所以（1分）
故是首项为1，公比为4的等比数列，
所以（4分）
（2）①因为成等差数列，所以
而所以（6分）
则得
所以所以是等差数列，且公差是等差数列，且公差为1． （9分）
②因为所以则由，解得：或。
（11分）
(i) 当时，，所以，则即，得，所以
则
所以（13分）
则，故；（14分）
（ii）当时，，所以，则即，得，（15分）
则
所以（17分）
则，故（18分）
综上所述，或