Question

已知F₁、F₂分别是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)的左焦点和右焦点，O是坐标系原点，且椭圆C的焦距为6，过F₁的弦AB两端点A、B与F₂所成△ABF₂的周长是12

2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是椭圆C上不同的两点，线段PQ的中点为M（2，1），求直线PQ的方程．

Answer 1

分析：（1）由焦距可求得c值，由△ABF₂的周长是12

2

可得a值，再由a²=b²+c²即可求得b值；
（2）平方差法：把点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）坐标代入椭圆方程作差，可求得直线PQ的斜率，利用点斜式即可求得直线方程；

解答：解：（1）设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)的焦距为2c，
∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)的焦距为2，∴2c=6，即c=3，
又∵F₁、F₂分别是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)的左焦点和右焦点，且过F₁的弦AB两端点A、B与F₂所成△ABF₂的周长是12

2

．
∴△ABF₂的周长=AB+（AF₂+BF₂）=（AF₁+BF₁）+（AF₂+BF₂）=4a=12

2

，解得a=3

2

，
又∵a²=b²+c²，∴b²=18-9=9，
∴椭圆C的方程是

x2

18

+

y2

9

=1；
（2）∵点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是椭圆C上不同的两点，
∴

x12

18

+

y12

9

=1，

x22

18

+

y22

9

=1．
以上两式相减得：

x12- x 2 2

18

+

y12- y 2 2

9

=0，
即x12-

x

2 2

+2(y12-

y

2 2

)=0，(x1-

x

2

)(x1+

x

2

)+2(y1-

y

2

)(y1+

y

2

)=0，
∵线段PQ的中点为M（2，1），∴x1+

x

2

=4， y1+

y

2

=2．
∴4(x1-

x

2

)+4(y1-

y

2

)=0，
当x₁=x₂，由上式知，y₁=y₂则P，Q重合，与已知矛盾，因此x₁≠x₂，
∴

y1- y   2

x1- x   2

=-1，即直线PQ的斜率为-1，
∴直线PQ的方程为y-1=-（x-2），即x+y-3=0．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆标准方程的求解，考查方程思想，凡涉及弦中点问题均可考虑平方差法解决．