Question

15．已知圆O的内接三角形ABC的三边长分别为|AB|=4，|BC|=5，|CA|=6，则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{CA}$=-154．

Answer 1

分析 在△ABC中，由余弦定理求出∠A的余弦值，再由正弦定理求出三角形外接圆的半径，然后再由余弦定理求得∠AOB、∠BOC、∠AOC的余弦值，代入$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{CA}$得答案．

解答 解：在三角形ABC中，∵|AB|=4，|BC|=5，|CA|=6，
∴cosA=$\frac{{4}^{2}+{6}^{2}-{5}^{2}}{2×4×6}$=$\frac{9}{16}$．
在sinA=$\frac{5\sqrt{7}}{16}$．
∴2R=$\frac{5}{\frac{5\sqrt{7}}{16}}=\frac{16\sqrt{7}}{7}$，R=$\frac{8\sqrt{7}}{7}$．
即$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|=\frac{8\sqrt{7}}{7}$．
∴cos$∠AOB=\frac{2（\frac{8\sqrt{7}}{7}）^{2}-16}{2（\frac{8\sqrt{7}}{7}）^{2}}=\frac{1}{8}$，
cos$∠BOC=\frac{2（\frac{8\sqrt{7}}{7}）^{2}-25}{2（\frac{8\sqrt{7}}{7}）^{2}}$=$-\frac{47}{128}$，
cos$∠AOC=\frac{2（\frac{8\sqrt{7}}{7}）^{2}-36}{2（\frac{8\sqrt{7}}{7}）^{2}}$=$-\frac{31}{32}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{OA}•（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）+\overrightarrow{OB}•（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}）$$+\overrightarrow{OC}•（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}）$
=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}$$-（|\overrightarrow{OA}{|}^{2}+|\overrightarrow{OB}{|}^{2}+|\overrightarrow{OC}{|}^{2}）$
=$（\frac{8\sqrt{7}}{7}）^{2}（\frac{1}{8}-\frac{47}{128}-\frac{31}{32}）-3（\frac{8\sqrt{7}}{7}）^{2}$=-154．
故答案为：-154．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查计算能力，是中档题．