题目内容
已知常数a、b、c都是实数,函数f(x)=
+
x2+bx+c的导函数为f′(x)
(Ⅰ)设a=f′(2),b=f′(1),c=f′(0),求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)设 f′(x)=(x-γ)(x-β),且1<γ≤β<2,求f′(1)•f′(2)的取值范围.
x3 |
3 |
a |
2 |
(Ⅰ)设a=f′(2),b=f′(1),c=f′(0),求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)设 f′(x)=(x-γ)(x-β),且1<γ≤β<2,求f′(1)•f′(2)的取值范围.
(Ⅰ)由题意可得,f′(x)=x2+ax+b.
∴
,
解得:
.
∴f(x)=
-
x2-3x-3.
(II)∵f′(x)=(x-γ)(x-β).
又 1<γ≤β<2,
∴f′(1)=(1-γ)(1-β)>0,f′(2)=(2-γ)(2-β)>0
∴f′(1)•f′(2)=(1-γ)(1-β)(2-γ)(2-β)
=[(γ-1)(2-γ)]•[(β-1)(2-β)]≤(
)2•(
)2=
∴0<f′(1)•f′(2)≤
∴
|
解得:
|
∴f(x)=
x3 |
3 |
1 |
2 |
(II)∵f′(x)=(x-γ)(x-β).
又 1<γ≤β<2,
∴f′(1)=(1-γ)(1-β)>0,f′(2)=(2-γ)(2-β)>0
∴f′(1)•f′(2)=(1-γ)(1-β)(2-γ)(2-β)
=[(γ-1)(2-γ)]•[(β-1)(2-β)]≤(
γ-1+2-γ |
2 |
β-1+2-β |
2 |
1 |
16 |
∴0<f′(1)•f′(2)≤
1 |
16 |
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