题目内容

已知常数a、b、c都是实数,函数f(x)=
x3
3
+
a
2
x2+bx+c
的导函数为f′(x)
(Ⅰ)设a=f′(2),b=f′(1),c=f′(0),求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)设 f′(x)=(x-γ)(x-β),且1<γ≤β<2,求f′(1)•f′(2)的取值范围.
(Ⅰ)由题意可得,f′(x)=x2+ax+b.
4+2a+b=a
1+a+b=b
b=c

解得:
a=-1
b=c=-3

f(x)=
x3
3
-
1
2
x2-3x-3

(II)∵f′(x)=(x-γ)(x-β).
又 1<γ≤β<2,
∴f′(1)=(1-γ)(1-β)>0,f′(2)=(2-γ)(2-β)>0
∴f′(1)•f′(2)=(1-γ)(1-β)(2-γ)(2-β)
=[(γ-1)(2-γ)]•[(β-1)(2-β)]≤(
γ-1+2-γ
2
)2•(
β-1+2-β
2
)2=
1
16

0<f′(1)•f′(2)≤
1
16
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