Question

已知常数a、b、c都是实数，函数f(x)=

x3

3

+

a

2

x2+bx+c的导函数为f′（x）
（Ⅰ）设a=f′（2），b=f′（1），c=f′（0），求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设 f′（x）=（x-γ）（x-β），且1＜γ≤β＜2，求f′（1）•f′（2）的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先对函数求导，然后根据a=f′（2），b=f′（1），c=f′（0），代入可求a，b，c，进而可求函数f（x）
（II）由f′（x）=（x-γ）（x-β），及 1＜γ≤β＜2，可得f′（1）•f′（2）=（1-γ）（1-β）（2-γ）（2-β）=[（γ-1）（2-γ）]•[（β-1）（2-β）]，分别利用基本不等式可求取值范围

解答：（Ⅰ）解：由题意可得，f′（x）=x²+ax+b．
∴

4+2a+b=a 1+a+b=b b=c

，
解得：

a=-1 b=c=-3

．
∴f(x)=

x3

3

-

1

2

x2-3x-3．
（II）∵f′（x）=（x-γ）（x-β）．
又 1＜γ≤β＜2，
∴f′（1）=（1-γ）（1-β）＞0，f′（2）=（2-γ）（2-β）＞0
∴f′（1）•f′（2）=（1-γ）（1-β）（2-γ）（2-β）
=[（γ-1）（2-γ）]•[（β-1）（2-β）]≤(

γ-1+2-γ

2

)2•(

β-1+2-β

2

)2=

1

16

∴0＜f′(1)•f′(2)≤

1

16

点评：本题主要考查了函数的导数的求解，利用待定系数法求解函数的解析式，及利用基本不等式求解函数的值域（最值），属于函数的知识的综合应用．