题目内容
10．求f（x）=ax2-（2a+1）x+lnx的单调区间．分析 先求函数的导数，然后构造不等式，将问题最终转化为一元二次不等式的解法，注意分类讨论．
解答 解：由已知得$f′（x）=2ax+\frac{1}{x}-（2a+1）$=$\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$，（x＞0）
当a=0时，$f′（x）=\frac{1-x}{x}$，此时x∈（0，1）时f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上递增，在[1，+∞）上递减．
当a≠0时，令f′（x）=0得x=$\frac{1}{2a}$或x=1．
当$\frac{1}{2a}＜0$，即a＜0时，易知x∈（0，1）时f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上递增，在[1，+∞）上递减．
当$0＜\frac{1}{2a}＜1$，即$a＞\frac{1}{2}$时，由f′（x）＞0得$0＜x＜\frac{1}{2a}$或x＞1，由f′（x）＜0得$\frac{1}{2a}＜x＜1$．
所以f（x）的增区间为$（0，\frac{1}{2a}），[1，+∞）$，减区间为[$\frac{1}{2a}，1$）．
当$\frac{1}{2a}=1$即a=$\frac{1}{2}$时，$f′（x）=\frac{（x-1）^{2}}{x}＞0$恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上递增．
当$\frac{1}{2a}＞1$，即$0＜a＜\frac{1}{2}$时，由f′（x）＞0得0＜x＜1或$x＞\frac{1}{2a}$，由f′（x）＜0得$1＜x＜\frac{1}{2a}$，
故函数f（x）的增区间为（0，1），$[\frac{1}{2a}，+∞）$，减区间为$[1，\frac{1}{2a}）$．
点评 本题考查了利用导数研究函数单调性的方法，以及二次不等式的解法，注意分类讨论思想的应用．
阅读快车系列答案| 高一 | 高二 | 高三 | |
| 女生 | 373 | m | n |
| 男生 | 377 | 370 | p |
“无字证明”（proofs without words）就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现，请利用下面两个三角形（△ACD和△ECD）的面积关系，写出高中数学中的一个重要关系式：$\sqrt{ab}≤\frac{1}{2}（a+b）$．
如图所示的一块长方体木料中，已知AB=BC=2，AA1=1，设F为线段AD上一点，则该长方体中经过点A1，F，C的截面面积的最小值为$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．| 年龄 | [20，25） | [25，30） | [30，35） | [35，40） | [40，45） |
| 人数 | 4 | 5 | 8 | 5 | 3 |
| 年龄 | [45，50） | [50，55） | [55，60） | [60，65） | [65，70） |
| 人数 | 6 | 7 | 3 | 5 | 4 |
（Ⅰ）求年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都是赞成的概率；
（Ⅱ）求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；
（Ⅲ）若选中的4人中，不赞成的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．