Question

在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（1，0），动点P满足：

PA

•

PB

=m(|

OP

•

OA

|2-

OB

2)
（1）求动点P的轨迹方程，并根据m的取值讨论方程所表示的曲线类型；
（2）当动点P的轨迹为椭圆时，且该椭圆与直线l：y=x+2交于不同两点时，求此椭圆离心率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）用直译法来求动点P的轨迹方程，设出P点坐标，根据向量数量积的坐标运算，由

PA

•

PB

=m(|

OP

•

OA

|2-

OB

2)，得，（m-1）x²-y²=m-1，再按m的取值讨论，当m＞1时，x²与y²前面的系数符号相反，所以为双曲线，当m=1时，为y=0，是x轴所在直线．当0＜m＜1时，x²与y²前面的系数符号相同，且x²前面的系数小于y²前面的系数，是焦点在x轴上的椭圆；当m=0时，方程为x²+y²=1，是单位圆；当m＜0时，x²与y²前面的系数符号相同，且x²前面的系数大于y²前面的系数，焦点在y轴上的椭圆．
（2）由（1）知，当m＜0或0＜m＜1时，曲线表示椭圆，椭圆方程与直线l：y=x+2联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，因为椭圆与直线l交于不同两点，所以△＞0，得到m的一个范围，再把a，b，c用m表示，代入离心率公式，把离心率e用含m的式子表示，根据m的范围，求出m的范围即可．

解答：解：（1）设P（x，y），则

PA

=（-1-x，-y），

PB

=（1-x，-y），

OP

=（x，y），

OA

=（-1，0），

OB

=（1，0）
∴

PA

•

PB

=x²+y²-1，

OP

•

OA

=-x，
∵

PA

•

PB

=m(|

OP

•

OA

|2-

OB

2)，∴x²+y²-1=m（x²-1）化简得，（m-1）x²-y²=m-1，
当m＞1时，m-1＞0，曲线为双曲线；
当m=1时，方程为y=0，是x轴所在直线；
当0＜m＜1时，-1＜m-1＜0，曲线为焦点在x轴上的椭圆；
当m=0时，方程为x²+y²=1，是单位圆；
当m＜0时，m-1＜-1，曲线为焦点在y轴上的椭圆；
（2）

y=x+2 (m-1)x2-y2=m-1

⇒（m-2）x²-4x-m-3=0，△＞0⇒m＜-2，a²=1-m，b²=1，∴c²=-m，e2=

m

m-1

(m＜-2)得m=

e2

e2-1

＜-2，得

2

3

＜e2＜1⇒e∈(

6

3

，1)．

点评：本题主要考查了直译法求轨迹轨迹方程，一元二次方程表示曲线的判断，以及椭圆离心率的求法．