Question

已知函数f（x）=log

1

2

（x+1），当点P（x₀，y₀）在y=f（x）的图象上移动时，点Q（

x0-t+1

2

，y₀）（t∈R）在函数y=g（x）的图象上移动．
（1）若点P坐标为（1，-1），点Q也在y=f（x）的图象上，求t的值；
（2）求函数y=g（x）的解析式；
（3）当t＞0时，试探求一个函数h（x）使得f（x）+g（x）+h（x）在限定定义域为[0，1）时有最小值而没有最大值．

Answer 1

（1）当点P坐标为（1，-1），点Q的坐标为(

1-t+1

2

，-1)，
∵点Q也在y=f（x）的图象上，∴-1=log

1

2

(-1+

t

2

+1)，即t=0．
（根据函数y=f（x）的单调性求得t=0，请相应给分）
（2）设Q（x，y）在y=g（x）的图象上
则

x= x0-t+1 2 y=y0

，即

x0=2x+t-1 y0=y

而P（x₀，y₀）在y=f（x）的图象上，∴y0=log

1

2

(x0  +1)
代入得，y=g(x)=log

1

2

(2x+t)为所求．
（3）h(x)=log

1

2

1-x

2x+t

；或h(x)=log

1

2

3 2 -x

2x+t

等．
如：当h(x)=log

1

2

1-x

2x+t

时，
f（x）+g（x）+h（x）=log

1

2

 (x+1)+log

1

2

(2x+t)+log

1

2

1-x

2x+t

=log

1

2

 (1-x2)
∵1-x²在[0，1）单调递减，∴0＜1-x²≤1故log

1

2

(1-x2)≥0，
即f（x）+g（x）+h（x）有最小值0，但没有最大值．