Question

已知函数f（x）=log_a（x+1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象：
（1）写出g（x）的解析式
（2）记F（x）=f（x）+g（x），讨论F（x）的单调性
（3）若a＞1，x∈[0，1）时，总有F（x）=f（x）+g（x）≥m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知可得函数f（x）=log_a（x+1）与函数y=g（x）的图象关于原点对称，进而利用坐标法，可得g（x）的解析式
（2）根据F（x）=f（x）+g（x），结合（1）的结论，求出F（x）的解析式，利用导数法，求出内函数的单调性，结合对数函数的单调性与复合函数同增异减的原则，可分析出F（x）的单调性
（3）若a＞1，x∈[0，1）此时结合（2）的结论，可得函数为增函数，若F（x）=f（x）+g（x）≥m恒成立，仅须F（x）的最小值，大于等于m即可．

解答：解：（1）设P（x，y）是函数y=g（x）图象上的任意一点
则P关于原点的对称点Q的坐标为（-x，-y）
∵已知点Q在函数f（x）的图象上
∴-y=f（-x），而f（x）=log_a（x+1）
∴-y=log_a（-x+1）
∴y=-log_a（-x+1）
而P（x，y）是函数y=g（x）图象上的点
∴y=g（x）=-log_a（-x+1）=-log_a（1-x）
（2）F（x）=f（x）+g（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x）=loga

1+x

1-x

，
则函数F（x）=loga

1+x

1-x

的定义域为（-1，1），
令h（x）=

1+x

1-x

，则h′（x）=

2

(1-x)2

，
∵当x∈（-1，1）时，h′（x）≥0恒成立
故h（x）=

1+x

1-x

在（-1，1）上单调递增，
当0＜a＜1时，y=log_at为减函数，此时F（x）=loga

1+x

1-x

为减函数，
当a＞1时，y=log_at为增函数，此时F（x）=loga

1+x

1-x

为增函数．
（3）由（2）得若a＞1
当x∈[0.1）时，F（x）=loga

1+x

1-x

为增函数
此时F（x）_min=F（0）=log_a1=0
∴m≤0
∴所求m的取值范围：m≤0

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数解析式的求法，函数单调性的判断与证明，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．