题目内容

已知函数f1(x)=
mx
4x2+16
，f2(x)=(
1
2
)|x-m|其中m∈R且m≠o．
（1）判断函数f1（x）的单调性；
（2）若m＜一2，求函数f（x）=f1（x）+f2（x）（x∈[-2，2]）的最值；
分析：（1）用导数法判断其单调性，第一步先求导数，第二步判断，当导数大于零时，函数为增函数，当导数小于零时，函数为减函数．（2）先构造函数，再判断其单调性，然后求最值．
解答：解：（1）∵f′1(x)=
m(4-x2)
(2x2+8)2
（2分）
则当m＞0时，在（-2，2）上函数f1（x）单调递增；
在（-∞，-2）及（2，+∞）上单调递减．（4分）
当m＜0时，在（-2，2）上函数f1（x）单调递减；
在（-∞，-2）及（2，+∞）上单调递增．（6分）

（2）由m＜-2，，-2≤x≤2，可得f2(x)=(
1
2
)x-m=2m•(
1
2
)x（8分）
∴f(x)=f1(x)+f2(x)=
mx
4x2+16
+2m•(
1
2
)x
由（1）知，当m＜-2，-2≤x≤2时，f1（x）在[-2，2]上是减函数，
而f2(x)=2m•(
1
2
)x在[-2，2]上也是减函数（10分）
∴当x=-2时，f（x）取最大值4•2m-
m
16
=2m+2-
m
16
，
当x=2时，f（x）取最小值2m-2+
m
16
（12分）
点评：本题主要考查导数法研究单调性，同进考查了求最值或值域时，必须先研究单调性．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．
（1）当a=
1
2
时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称为g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．
已知函数f1(x)=(a-
1
2
)x2+2ax+(1-a2)lnx，f2(x)=
1
2
x2+2ax．
①若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围；
②当a=
2
3
时，求证：在区间（1，+∞）上，函数f1（x），f2（x）的“活动函数”有无穷多个．
已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．
（1）当a=
1
2
时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数f1(x)=(a-
1
2
)x2+2ax+(1-a2)lnx，f2(x)=
1
2
x2+2ax．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．
（2011•太原模拟）已知函数f1(x)=ax，f2(x)=xa，f3(x)=logax（其中a＞0且a≠1），当x≥0且y≥0时，在同一坐标系中画出其中两个函数的大致图象，正确的是（　　）
（2013•汕头一模）已知函数f1(x)=e|x-a|，f2(x)=ebx．
（I）若f（x）=f1（x）+f2（x）-bf2（-x），是否存在a，b∈R，y=f（x）为偶函数．如果存在．请举例并证明你的结论，如果不存在，请说明理由；
〔II）若a=2，b=1．求函数g（x）=f1（x）+f2（x）在R上的单调区间；
（III ）对于给定的实数?x0∈[0，1]，对?x∈[0，1]，有|f1（x）-f2（x0）|＜1成立．求a的取值范围．
已知函数f1(x)=x+
4
x
(x≠0)，f2(x)=cosx+
4
cosx
(0＜x＜
π
2
)，f3（x）=
8x
x2+1
（x＞0），f4(x)=
9
x+2
+x(x≥-2)，其中以4为最小值的函数个数是（　　）

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