题目内容
【题目】已知函数,,如果对于定义域内的任意实数,对于给定的非零常数,总存在非零常数,恒有成立,则称函数是上的级类增周期函数,周期为,若恒有成立,则称函数是上的级类周期函数,周期为.
(1)已知函数是上的周期为1的2级类增周期函数,求实数的取值范围;
(2)已知,是上级类周期函数,且是上的单调递增函数,当时,,求实数的取值范围;
(3)是否存在实数,使函数是上的周期为的级类周期函数,若存在,求出实数和的值,若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2);(3)当时,,;当时,,.
【解析】
(1)由题意f(x+1)>2f(x)整理可求得a<x﹣1,令x﹣1=t(t≥2),由g(t)=t在[2,+∞)上单调递增,即可求得实数a的取值范围;(2)由x∈[0,1)时,f(x)=2x,可求得当x∈[1,2)时,f(x)=mf(x﹣1)=m2x﹣1,…当x∈[n,n+1)时,f(x)=mn2x﹣n,利用f(x)在[0,+∞)上单调递增,可得m>0且mn2n﹣n≥mn﹣12n﹣(n﹣1),从而可求实数m的取值范围;(3)f(x+T)=Tf(x)对一切实数x恒成立,即cosk(x+T)=Tcoskx对一切实数恒成立,分当k=0时,T=1;当k≠0时,要使cosk(x+T)=Tcoskx恒成立,只有T=±1,于是可得答案.
(1)由题意可知:f(x+1)>2f(x),即﹣(x+1)2+a(x+1)>2(﹣x2+ax)对一切[3,+∞)恒成立,
整理得:(x﹣1)a<x2﹣2x﹣1,
∵x≥3,
∴ax﹣1,
令x﹣1=t,则t∈[2,+∞),g(t)=t在[2,+∞)上单调递增,
∴g(t)min=g(2)=1,
∴a<1.
(2)∵x∈[0,1)时,f(x2x,
∴当x∈[1,2)时,f(x)=mf(x﹣1)=m2x﹣1,…
当x∈[n,n+1)时,f(x)=mf(x﹣1)=m2f(x﹣2)=…=mnf(x﹣n)=mn2x﹣n,
即x∈[n,n+1)时,f(x)=mn2x﹣n,n∈N*,
∵f(x)在[0,+∞)上单调递增,
∴m>0且mn2n﹣n≥mn﹣12n﹣(n﹣1),
即m≥2.
(3)由已知,有f(x+T)=Tf(x)对一切实数x恒成立,
即cosk(x+T)=Tcoskx对一切实数恒成立,
当k=0时,T=1;
当k≠0时,
∵x∈R,
∴kx∈R,kx+kT∈R,于是coskx∈[﹣1,1],
又∵cos(kx+kT)∈[﹣1,1],
故要使cosk(x+T)=Tcoskx恒成立,只有T=±1,
当T=1时,cos(kx+k)=coskx得到 k=2nπ,n∈Z且n≠0;
当T=﹣1时,cos(kx﹣k)=﹣coskx得到﹣k=2nπ+π,
即k=(2n+1)π,n∈Z;
综上可知:当T=1时,k=2nπ,n∈Z;
当T=﹣1时,k=(2n+1)π,n∈Z.
【题目】微信已成为人们常用的社交软件,“微信运动”是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数,同时也可以和好友进行运动量的PK或点赞.现从小明的微信朋友圈内随机选取了50人(男、女各25人),并记录了他们某一天的走路步数,并将数据整理如下表:
步数 性别 | 0~3000 | 3001~6000 | 6001~9000 | 9001~12000 | >12000 |
男 | 1 | 1 | 3 | 15 | 5 |
女 | 0 | 4 | 11 | 8 | 2 |
若某人一天走路的步数超过9000步被系统评定为“积极型”,否则被系统评定为“懈怠型”。
(1)利用样本估计总体的思想,估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过12000步的概率;
(2)根据题意完成下面的2×2列联表,并据此判断能否有99.5%的把握认为“评定类型”与“性别”有关?
积极型 | 懈怠型 | 总计 | |
男 | |||
女 | |||
总计 |
附:,其中.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |