题目内容

【题目】如图,在棱柱ABC﹣A1B1C1中,点C在平面A1B1C1内的射影点为的A1B1中点O,AC=BC=AA1 , ∠ACB=90°.
(1)求证:AB⊥平面OCC1
(2)求二面角A﹣CC1﹣B的正弦值.

【答案】
(1)证明:∵点C在平面 内的射影点为A1B1的中点O,

∴CO⊥A1B1,∵AC=BC,∴A1C1=C1B1

∵O为A1B1的中点,∴C1O⊥A1B1

∵C1O∩CO=O,∴A1B1⊥平面CC1O,

∵A1B1∥AB,∴AB⊥平面CC1O.


(2)解:以C为原点,CA为x轴,CB为y轴,CO为z轴,建立空间直角坐标系,

设AC=1,则CC1=1,C1O=

∵∠COC1= ,∴CO= =

则C(0,0,0),C1(﹣ ),A(1,0,0),B(0,1,0),

=(﹣ ), =(1,0,0), =(0,1,0),

设平面ACC1的法向量 =(x,y,z),

,取y= ,得 =(0, ),

同理得平面BCC1的法向量 =( ),

设二面角A﹣CC1﹣B的平面角为θ,

则cosθ= =

sinθ= =

∴二面角A﹣CC1﹣B的正弦值为


【解析】(1)推导出CO⊥A1B1 , A1C1=C1B1 , C1O⊥A1B1 , 从而A1B1⊥平面CC1O,再由A1B1∥AB,能证明AB⊥平面CC1O.(2)以C为原点,CA为x轴,CB为y轴,CO为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A﹣CC1﹣B的正弦值.
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的判定,掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想即可以解答此题.

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