题目内容
已知函数f(x)=log2(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.(1)求k的值;
(2)设函数
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【答案】分析:(1)由已知中函数f(x)=log2(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.由偶函数的定义,构造一个关于k的方程,解方程即可求出k的值;
(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点,即方程log2(4x+1)-x=
在(
,+∞)有且只有一解,即方程
在
上只有一解,利用换元法,将方程转化为整式方程后,分类讨论后,即可得到a的取值范围.
解答:解:(1)∵函数f(x)=log2(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数
∴f(-x)=log2(4-x+1)-kx=f(x)=log2(4x+1)+kx恒成立
即log2(4x+1)-2x-kx=log2(4x+1)+kx恒成立
解得k=-1
(2)∵a>0
∴函数
的定义域为(
,+∞)
即满足
函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点,
∴方程log2(4x+1)-x=
在(
,+∞)有且只有一解
即:方程
在
上只有一解
令2x=t,则
,因而等价于关于t的方程
(*)在
上只有一解
当a=1时,解得
,不合题意;
当0<a<1时,记
,其图象的对称轴
∴函数
在(0,+∞)上递减,而h(0)=-1
∴方程(*)在
无解
当a>1时,记
,其图象的对称轴
所以,只需
,即
,此恒成立
∴此时a的范围为a>1
综上所述,所求a的取值范围为a>1.
点评:本题考查的知识点是函数与方程的综合运用,偶函数,其中根据偶函数的定义求出k值,进而得到函数f(x)的解析式,是解答的关键.
(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点,即方程log2(4x+1)-x=
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解答:解:(1)∵函数f(x)=log2(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数
∴f(-x)=log2(4-x+1)-kx=f(x)=log2(4x+1)+kx恒成立
即log2(4x+1)-2x-kx=log2(4x+1)+kx恒成立
解得k=-1
(2)∵a>0
∴函数
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即满足
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函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点,
∴方程log2(4x+1)-x=
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即:方程
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令2x=t,则
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当a=1时,解得
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当0<a<1时,记
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∴函数
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∴方程(*)在
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当a>1时,记
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所以,只需
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∴此时a的范围为a>1
综上所述,所求a的取值范围为a>1.
点评:本题考查的知识点是函数与方程的综合运用,偶函数,其中根据偶函数的定义求出k值,进而得到函数f(x)的解析式,是解答的关键.
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