题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,直线
平面
,
.
(1)求证:直线平面
.
(2)若直线与平面
所成的角的正弦值为
,求二面角
的平面角的余弦值.
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】
试题分析:(1)证明线面垂直,一般多次利用线面垂直判定定理及性质定理,经多次线线垂直与线面垂直的转化进行论证:在线线垂直论证与寻找时,要注意利用平面几何的条件,如本题就利用两三角形相似,得到
,再根据线面垂直性质定理将条件
平面
转化为线线垂直:
,最后根据线面垂直判定定理得
平面
(2)线面角找射影,由(1)知直线
在平面
上射影为
(
为
与
交点),则
是直线
与平面
所成的角,二面角的作法,往往结合三垂线定理:作
于
,由
,知
平面
,∴
,∴
是二面角
的平面角,最后结合对应三角形求角的三角函数值.本题也可建立空间直角坐标系进行论证、求解.
试题解析:
法一:(1)
取中点
,连接
,则
,
∴四边形是平行四边形,∴
.
∵直角和直角
中,
,∴直角
直角
,易知
,
∴
又∵平面
,∴
而,∴
平面
,得证
(2)由,知
,∵
,∴
,
设交
于
,连接
,则
是直线
与平面
所成的角,
,∴
,而
故
作于
,由
,知
平面
,∴
,∴
是二面角
的平面角
∵,∴
,而
,
∴,∴
,∴
,即二面角
的平面角的余弦值为
法二:
(1)∵平面
,∴
,又∵
,故可建立如图所示坐标系
由已知,∴
,∴
∴,∴
平面
(2)由(1),平面的一个法向量是
,
设直线与平面
所成的角为
,∴
,
,
∵,∴
,即
设平面的一个法向量为
,
由,∴
,令
,则
∴
显然二面角的平面角是锐角,
∴二面角的平面角的余弦值为
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