Question

已知函数f（x）=x³+px²+qx的图象与x轴切于非原点的一点，且f（x）的一个极值为-4
（1）求p、q的值，并求出f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）=t有3个不同的实根，求t的取值范围；
（3）令g（x）=f′（e^x）+x-（t+12）e^x，是否存在实数M，使得t≤M时g（x）是单调递增函数．若存在，求出M的最大值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据函数求导公式求函数导数，判断函数的单调性，画图，根据图表判断函数的单调性．
（2）根据函数有3个不同的实根，判断函数极值的正负，函数的图象应与x轴有三个交点，所以根据函数图象的大致走向判断极值，判断t的取值范围．．
（3）先求出导数，判断函数的单调性，再利用恒成立问题求最值，用到均值不等式．

解答：解：（1）设切点（a，0）（a≠0），f（x）=x（x²+px+q）
由题意得：方程x²+px+q=0有两个相等实根a
故可得f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+a²x（2分）f'（x）=3x²-4ax+a²=（x-a）（3x-a）
∵f'（a）=0≠-4，∴f(

a

3

)=-4（3分）
于是

a

3

•(

a

3

-a)2=-4，∴a=-3
∴f（x）=x³+6x²+9x∴p=6，q=9（4分）f'（x）=（x+3）（3x+3）

x	（-∞，-3）	-3	（-3，-1）	1	（-1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大	↘	极小	↗

∴f（x）的单调递增区间是：（-∞，-3），（-1，+∞）
单调递减区间是：（-3，-1）（6分）
（2）由（1）知f（x）在x=-3处取得极大值f（-3）=0，在x=-1处取得极小值f（-1）=-4
作f（x）的大致形状及走向如图所示：易知当t∈（-4，0）时，f（x）=t有3个不同的实根．（9分）
（3）g（x）=f'（e^x）+x-（t+12）e^x=3e^2x+12e^x+9+x-（t+12）e^x=3e^2x-te^x+x+9g'（x）=6e^2x-te^x+1（11分）
若g（x）在R上递增，即g'（x）≥0，当x∈R恒成立（12分）
即t≤6ex+

1

ex

（当x∈R时恒成立）（13分）
由于6ex+

1

ex

≥2

6

，当且仅当6ex=

1

ex

，即x=ln

1 6

时取到
∴t≤2

6

（14分）
∴M最大值为2

6

（15分）

点评：该题考查函数的求导，考查利用恒成立问题求最值，属简单题．注意解答过程中要有图表，根据图表判断函数的单调性