题目内容
等比数列{xn}各项均为正值,yn=2logaxn(a>0且a≠1,n∈N*),已知y4=17,y7=11.
(1)求证:数列{yn}是等差数列;
(2)数列{yn}的前多少项的和为最大?最大值为多少?
(3)当n>12时,要使xn>2恒成立,求a的取值范围.
(1)求证:数列{yn}是等差数列;
(2)数列{yn}的前多少项的和为最大?最大值为多少?
(3)当n>12时,要使xn>2恒成立,求a的取值范围.
分析:(1)只要证明yn+1-yn为常数即可
(2)由y4=17,y17=11,可求公差d,进而可求通项,然后由
可求满足条件的n
(3)由(2)知,当n>12时,yn<0成立,结合已知可求xn,进而可求a的范围
(2)由y4=17,y17=11,可求公差d,进而可求通项,然后由
|
(3)由(2)知,当n>12时,yn<0成立,结合已知可求xn,进而可求a的范围
解答:证明:(1)设等比数列{xn}的公比为q,且q>0.
∵yn=2logaxn,
∴yn+1-yn=2loga(
)=2logaq.
∴{yn}为等差数列.
解:(2)设{yn}的公差为d,由y4=17,y17=11,
可得d=
=
=-2,y1=23,
∴yn=25-2n.
令
可解得
≤n≤
.
∵n∈N*.
∴n=12.
∴{yn}的前12项之和最大,最大值为S12=144.
(3)由(2)知,当n>12时,yn<0成立.
∵yn=2logaxn,
∴xn=a
当a>1,且n>12时,有xn=a
<a0=1.
这与题意不符,故0<a<1.
由0<a<1,且n>12,有xn=a
≥a-
>2.
故所求a的取值范围为0<a<
.
∵yn=2logaxn,
∴yn+1-yn=2loga(
xn+1 |
xn |
∴{yn}为等差数列.
解:(2)设{yn}的公差为d,由y4=17,y17=11,
可得d=
y17-y4 |
17-4 |
11-17 |
7-4 |
∴yn=25-2n.
令
|
23 |
2 |
25 |
2 |
∵n∈N*.
∴n=12.
∴{yn}的前12项之和最大,最大值为S12=144.
(3)由(2)知,当n>12时,yn<0成立.
∵yn=2logaxn,
∴xn=a
yn |
2 |
当a>1,且n>12时,有xn=a
yn |
2 |
这与题意不符,故0<a<1.
由0<a<1,且n>12,有xn=a
yn |
2 |
1 |
2 |
故所求a的取值范围为0<a<
1 |
4 |
点评:本题主要考查了等差数列的定义及等差数列的性质、通项公式及和的最值的求解,
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