题目内容

等比数列{xn}各项均为正值,yn=2logaxn(a>0且a≠1,n∈N*),已知y4=17,y7=11.
(1)求证:数列{yn}是等差数列;
(2)数列{yn}的前多少项的和为最大?最大值为多少?
(3)当n>12时,要使xn>2恒成立,求a的取值范围.
分析:(1)只要证明yn+1-yn为常数即可
(2)由y4=17,y17=11,可求公差d,进而可求通项,然后由
yn≥0
yn+1≤0.
可求满足条件的n
(3)由(2)知,当n>12时,yn<0成立,结合已知可求xn,进而可求a的范围
解答:证明:(1)设等比数列{xn}的公比为q,且q>0.
∵yn=2logaxn
∴yn+1-yn=2loga
xn+1
xn
)=2logaq.
∴{yn}为等差数列.
解:(2)设{yn}的公差为d,由y4=17,y17=11,
可得d=
y17-y4
17-4
=
11-17
7-4
=-2,y1=23,
∴yn=25-2n.
yn≥0
yn+1≤0.
可解得
23
2
≤n≤
25
2

∵n∈N*
∴n=12.
∴{yn}的前12项之和最大,最大值为S12=144.
(3)由(2)知,当n>12时,yn<0成立.
∵yn=2logaxn
∴xn=a
yn
2

当a>1,且n>12时,有xn=a
yn
2
<a0=1.
这与题意不符,故0<a<1.
由0<a<1,且n>12,有xn=a
yn
2
a-
1
2
>2.
故所求a的取值范围为0<a<
1
4
点评:本题主要考查了等差数列的定义及等差数列的性质、通项公式及和的最值的求解,
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