Question

等比数列{x_n}各项均为正值，y_n=2log_ax_n（a＞0且a≠1，n∈N^*），已知y₄=17，y₇=11
（1）求证：数列{y_n}是等差数列；
（2）数列{y_n}的前多少项的和为最大？最大值是多少？
（3）求数列{|y_n|}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）要证数列{y_n}是等差数列，只需证y_n+1-y_n为定值即可；
（2）由（1）知{y_n}是等差数列，知y₄=17，y₇=11，可求y_n，由y_n≥0可判断其前多少项的和为最大，从而可求其最大值；
（3）由（2）可知当n≤12时y_n＞0；当n≥13时，y_n＜0，求数列{|y_n|}的前n项和需分 当1≤n≤12 与当n≥13两种情况分别求得．

解答：解：（1）∵{x_n}是等比数列，设其公比为q，

xn+1

xn

 =q（定值），y_n+1-y_n=2（log_ax_n+1-log_ax_n）=2log_aq（是定值），
    所以数列{y_n}是等差数列．                                     4'
   （2）由（1）知{y_n}是等差数列，y₇=y₄+3d即 11=17+3d
∴d=-2，y_n=17+（n-4）d=25-2n6'
    由25-2n≥0得n≤

25

2

    当n≤12时y_n＞0；当n≥13时，y_n＜0所以数列{y_n}的前12项和最大；
∵y₁=23，
∴最大值S12=12×23+

12×11

2

(-2)=144；                           9′
   （3）Sn=23n+

n(n-1)

2

(-2)=24n-n2设{|y_n|}的前n项和为T_n，
∵当n≤12时y_n＞0；当n≥13时，y_n＜0，
∴当1≤n≤12时 T_n=S_n=24n-n²11′
   当n≥13时，T_n=a₁+a₂+…+a₁₂-a₁₃-…-a_n=S₁₂-（S_n-S₁₂）=2S₁₂-S_n=2×144-24n+n²13′
   所以Tn=

24n-n2  (1≤n≤12) n2-24n+288    (n≥13)

(n∈N*)                  14'

点评：本题考查等差数列的求和，重点考查等差数列通项公式的灵活运用，由通项公式判断前n项和的最值是亮点，难点在于（3）中的分类讨论求和，属于中档题．