Question

如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．
（1）证明：EM⊥BF；
（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值；
（3）当

EF

=6

EP

时，求点P到平面ABE的距离．

Answer 1

分析：（1）根据线面垂直得到线与线垂直，根据直径所对的圆周角是直角，得到两个三角形是等腰直角三角形，利用线面垂直的判定定理得到结果；
（2）延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH．，做出∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角，求出平面角；
（3）建立空间直角坐标系，求出平面ABE的法向量，

AP

的坐标，利用距离公式可得结论．

解答：（1）证明：∵EA⊥平面ABC，BM?平面ABC，∴EA⊥BM．
又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE，
而EM?平面ACFE，∴BM⊥EM．∵AC是圆O的直径，∴∠ABC=90°．
又∵∠BAC=30°，AC=4，∴AB=2

3

，BC=2，AM=3，CM=1．∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，

FC

EA

=

1

3

∴FC⊥平面ABC．∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形．
∴∠EMA=∠FMC=45°．∴∠EMF=90°，即EM⊥MF．
∵MF∩BM=M，∴EM⊥平面MBF．
而BF?平面MBF，∴EM⊥BF．
（2）解：延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH．
由（1）知FC⊥平面ABC，BG?平面ABC，∴FC⊥BG．
而FC∩CH=C，∴BG⊥平面FCH．∵FH?平面FCH，∴FH⊥BG，
∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角．
在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AC=4，
∴BM=AB•sin30°=

3

．
由

FC

EA

=

GC

GA

=

1

3

，得GC=2．∵BG=

BM2+MG2

=2

3

．
又∵△GCH∽△GBM，∴

GC

BG

=

CH

BM

，则CH=

GC•BM

BG

=1．
∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC=45°．
∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为

2

2

．
（3）解：以A为坐标原点，垂直于AC的直线，AC，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系
设P（0，y₀，z₀），∵E（0，0，3），F（0，4，1）
∴

EF

=（0，4，-2）∴

EP

=（0，y₀，z₀-3）
∵

EF

=6

EP

，∴

4=6y0 -2=6(z0-3)

，∴

y0= 2 3 z0= 8 3

∴P（O，

2

3

，

8

3

），
∴

AP

=（0，

2

3

，

8

3

）
∵BC⊥AB，BC⊥AE，AB∩AE=A
∴BC⊥平面ABE
∴平面ABE的一个法向量为

BC

=（-

3

，1，0）
∴d=

| BC • AP |

| BC |

=

1

3

．

点评：本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查应用向量知识解决数学问题的能力，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．